برای حل نامعادله \( \frac{2x - 1}{x - 1} \leq 7 \)، ابتدا باید نامعادله را به فرم قابل حلتری درآوریم. به این منظور، ابتدا \( 7 \) را به سمت چپ میآوریم:
\[
\frac{2x - 1}{x - 1} - 7 \leq 0
\]
برای جمع کردن کسرها، میتوانیم \( 7 \) را به صورت کسر بنویسیم:
\[
\frac{2x - 1}{x - 1} - \frac{7(x - 1)}{x - 1} \leq 0
\]
حالا کسرها را با هم جمع میکنیم:
\[
\frac{2x - 1 - 7(x - 1)}{x - 1} \leq 0
\]
عبارت داخل کسر را ساده میکنیم:
\[
2x - 1 - 7(x - 1) = 2x - 1 - 7x + 7 = -5x + 6
\]
بنابراین، نامعادله ما به شکل زیر در میآید:
\[
\frac{-5x + 6}{x - 1} \leq 0
\]
برای حل این نامعادله باید مقادیر ناهنجاری (نقاطی که کسر برابر صفر یا نامشخص میشود) را پیدا کنیم. کسر برابر صفر میشود زمانی که صورت کسر صفر باشد:
\[
-5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad 5x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{5}
\]
کسر نامشخص میشود زمانی که مخرج صفر شود:
\[
x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1
\]
حالا ما دو مقدار اصلی داریم: \( x = 1 \) و \( x = \frac{6}{5} \). این دو مقدار را برای تعیین علامت کسر در بازههای مختلف بررسی میکنیم. بازههای مورد نظر را تعیین میکنیم:
1. \( (-\infty, 1) \)
2. \( (1, \frac{6}{5}) \)
3. \( (\frac{6}{5}, +\infty) \)
برای هر بازه، یک نقطه انتخاب میکنیم و علامت کسر را بررسی میکنیم:
- برای \( x = 0 \) در بازه \( (-\infty, 1) \):
\[
\frac{-5(0) + 6}{0 - 1} = \frac{6}{-1} = -6 \quad (\text{منفی})
\]
- برای \( x = 1.2 \) در بازه \( (1, \frac{6}{5}) \):
\[
\frac{-5(1.2) + 6}{1.2 - 1} = \frac{-6 + 6}{0.2} = \frac{0}{0.2} = 0 \quad (\text{صفر})
\]
- برای \( x = 2 \) در بازه \( (\frac{6}{5}, +\infty) \):
\[
\frac{-5(2) + 6}{2 - 1} = \frac{-10 + 6}{1} = \frac{-4}{1} = -4 \quad (\text{منفی})
\]
حالا مقادیر ناهنجاری و علامتها را داریم:
- در بازه \( (-\infty, 1) \) کسر منفی است.
- در نقطه \( x = 1 \) کسر نامشخص است.
- در بازه \( (1, \frac{6}{5}) \) کسر برابر صفر است و بعد از آن در بازه \( (\frac{6}{5}, +\infty) \) کسر منفی است.
برای نتیجهگیری، نامعادله ما میگوید:
\[
\frac{-5x + 6}{x - 1} \leq 0
\]
بنابراین، حل نهایی به این صورت خواهد بود:
\[
x \in (-\infty, 1) \cup [\frac{6}{5}, +\infty)
\]
به همین ترتیب، جواب نهایی نامعادله:
\[
\boxed{(-\infty, 1) \cup \left[\frac{6}{5}, +\infty\right)}
\]
