برای حل این سوال، فاصله نقطه \( A(4,5) \) از خطی که از دو نقطه \( B(1,1) \) و \( C(-1,-2) \) میگذرد را محاسبه میکنیم.
ابتدا معادله خط \( BC \) را مینویسیم. شیب خط از فرمول زیر بهدست میآید:
\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 1}{-1 - 1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}
\]
حالا از شیب و یکی از نقاط مثلاً نقطه \( B(1,1) \) استفاده میکنیم تا معادله خط را بهدست آوریم:
\[
y - 1 = \frac{3}{2} (x - 1)
\]
با ساده سازی:
\[
y - 1 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}
\]
\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + 1
\]
\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}
\]
در نتیجه معادله خط \( BC \) به صورت زیر است:
\[
y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}
\]
برای پیدا کردن فاصله نقطه \( A(4,5) \) از این خط، از فرمول فاصله نقطه از خط استفاده میکنیم. معادله خط به فرم \( ax + by + c = 0 \) باید نوشته شود. پس:
\[
\frac{3}{2}x - y - \frac{1}{2} = 0
\]
در این معادله، \( a = \frac{3}{2} \)، \( b = -1 \)، و \( c = -\frac{1}{2} \) است. فرمول فاصله نقطه \( (x_1, y_1) \) از خط \( ax + by + c = 0 \) عبارت است از:
\[
d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}
\]
با جایگذاری اعداد داده شده:
\[
d = \frac{\left|\frac{3}{2} \cdot 4 - 1 \cdot 5 - \frac{1}{2}\right|}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-1)^2}}
\]
\[
d = \frac{|6 - 5 - 0.5|}{\sqrt{\frac{9}{4} + 1}}
\]
\[
d = \frac{|0.5|}{\sqrt{\frac{13}{4}}}
\]
\[
d = \frac{0.5}{\sqrt{\frac{13}{4}}} = \frac{0.5}{\frac{\sqrt{13}}{2}}
\]
\[
d = \frac{0.5 \times 2}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}
\]
بنابراین، فاصله نقطه \( A \) از خط \( BC \) برابر با \( \frac{1}{\sqrt{13}} \) است.
