برای حل این سوال، تابع \( f(x) \) را با توجه به مقادیر داده شده برای \( x \) محاسبه می‌کنیم:
تابع به صورت زیر داده شده است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 + 2x & , x < 0 \1 & , 0 \le x < 1 \-x + 3 & , x \ge 1
\end{cases}
\]
حال، مقدار تابع را در نقاط مختلف به دست می‌آوریم:
1. **\( f(-5) \)**
چون \(-5 < 0\)، بنابراین:
\[
f(-5) = (-5)^2 + 2(-5) = 25 - 10 = 15
\]
2. **\( f(-2) \)**
چون \(-2 < 0\)، بنابراین:
\[
f(-2) = (-2)^2 + 2(-2) = 4 - 4 = 0
\]
3. **\( f \left( -\frac{1}{2} \right) \)**
چون \(-\frac{1}{2} < 0\)، بنابراین:
\[
f \left( -\frac{1}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + 2 \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}
\]
4. **\( f(0) \)**
چون \(0 \le 0 < 1\)، بنابراین:
\[
f(0) = 1
\]
5. **\( f(4) \)**
چون \(4 \ge 1\)، بنابراین:
\[
f(4) = -4 + 3 = -1
\]
6. **\( f(f(-2)) \)**
اول \( f(-2) \) محاسبه شد که \( 0 \) است. حال، \( f(0) \) را محاسبه می‌کنیم:
\[
f(0) = 1
\]
7. **\( f(f(1)) \)**
چون \(1 \ge 1\)، ابتدا:
\[
f(1) = -1 + 3 = 2
\]
حال \( f(2) \) را محاسبه می‌کنیم:
چون \(2 \ge 1\)، پس:
\[
f(2) = -2 + 3 = 1
\]
نتایج نهایی:
1. \( f(-5) = 15 \)
2. \( f(-2) = 0 \)
3. \( f \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{3}{4} \)
4. \( f(0) = 1 \)
5. \( f(4) = -1 \)
6. \( f(f(-2)) = 1 \)
7. \( f(f(1)) = 1 \)
