برای محاسبه نسبت تندی متوسط به سرعت متوسط، ابتدا باید به تعاریف این مفاهیم بپردازیم:
1. **سرعت متوسط (v_m)**: نسبت جابهجایی کل بر زمان کل است. جابهجایی برای حرکت دایرهای، اختلاف موقعیت ابتدایی و نهایی است.
2. **تندی متوسط (s_m)**: نسبت مسافت طی شده بر زمان کل است. در حرکت دایرهای، مسافت طی شده برابر با طول مسیر هر دور میباشد.
حالا به محاسبه نسبت تندی متوسط به سرعت متوسط در هر مورد میپردازیم:
### 1. پس از نیم دور
- **مسافت طی شده**: نیم دور دایره = \( \pi \times 4 = 4\pi \) متر
- **جابهجایی**: از نقطه شروع به نقطه مقابل در نیم دور، جابهجایی = 8 متر
- **سرعت متوسط**: \( v_m = \frac{\text{جابهجایی}}{\text{زمان}} \)
- **تندی متوسط**: \( s_m = \frac{\text{مسافت}}{\text{زمان}} \)
اگر فرض کنیم زمان نیم دور را \( t \) در نظر بگیریم:
- \( v_m = \frac{8}{t} \)
- \( s_m = \frac{4\pi}{t} \)
حال نسبت:
\[
\frac{s_m}{v_m} = \frac{\frac{4\pi}{t}}{\frac{8}{t}} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}
\]
### 2. پس از یک چهارم دور
- **مسافت طی شده**: یک چهارم دور = \( \frac{1}{4} \times 2\pi \times 4 = 2\pi \) متر
- **جابهجایی**: در یک چهارم دور، جابهجایی متناسب با زاویه 90 درجه است = 4 متر.
با فرض زمان سفر را \( t/4 \):
- \( v_m = \frac{4}{t/4} = \frac{16}{t} \)
- \( s_m = \frac{2\pi}{t/4} = \frac{8\pi}{t} \)
حال نسبت:
\[
\frac{s_m}{v_m} = \frac{\frac{8\pi}{t}}{\frac{16}{t}} = \frac{8\pi}{16} = \frac{\pi}{2}
\]
### 3. پس از سه چهارم دور
- **مسافت طی شده**: سه چهارم دور = \( \frac{3}{4} \times 2\pi \times 4 = 6\pi \) متر
- **جابهجایی**: جابهجایی = 4 متر (عدد ثابت)
زمان سفر را \( 3t/4 \):
- \( v_m = \frac{4}{3t/4} = \frac{16}{3t} \)
- \( s_m = \frac{6\pi}{3t/4} = \frac{8\pi}{t} \)
حال نسبت:
\[
\frac{s_m}{v_m} = \frac{\frac{8\pi}{t}}{\frac{16}{3t}} = \frac{8\pi \cdot 3}{16} = \frac{3\pi}{2}
\]
### نتیجهگیری نهایی:
- پس از نیم دور: \( \frac{s_m}{v_m} = \frac{\pi}{2} \)
- پس از یک چهارم دور: \( \frac{s_m}{v_m} = \frac{\pi}{2} \)
- پس از سه چهارم دور: \( \frac{s_m}{v_m} = \frac{3\pi}{2} \)
بنابراین، نسبت تندی متوسط به سرعت متوسط در هر حالت به این صورت است.
