برای حل این مسئله، بیایید با بررسی حد زیر وقتی \( x \) به سمت \( +\infty \) میرود شروع کنیم:
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) + \sqrt{a x^n + b}}{x^n + 2}
\]
1. **بررسی صورت و مخرج**:
- در صورت عبارت، \(\sqrt{a x^n + b}\) برای مقادیر بزرگ \(x\) به صورت \(\sqrt{a} x^{n/2}\) تقریب زده میشود.
- در مخرج، \(x^n\) مؤلفه اصلی است.
2. **تقریب صورت و مخرج**:
- عبارت صورت به شکل \(f(x) + \sqrt{a} x^{n/2}\) تبدیل خواهد شد.
- عبارت مخرج تقریباً \(\approx x^n\) خواهد شد.
3. **نسبتگیری و تحلیل حد**:
- نسبت به صورت قرار دادن بزرگترین توان x در صورت و مخرج:
- این باعث میشود صورت به \( \approx \sqrt{a} x^{n/2}\) و مخرج به \( \approx x^n\) تبدیل شود.
4. **نتیجهگیری حد**:
- با انجام این تقریبها و حذف جملههایی که مقدارشان به نسبت کاهش بیشتر دارد، حد به این صورت به دست میآید:
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{a} x^{n/2}}{x^n} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{a}}{x^{n/2}} = 0
\]
بنابراین، مقدار معادل حد مورد نظر صفر خواهد بود.
