برای تحلیل و حل هر یک از نامعادلات داده شده، به صورت جداگانه توضیحاتی ارائه میشود:
**الف**: \( x^2 - 5x - 3 < 0 \)
برای حل این نامعادله، ابتدا باید نقاطی که در آنها برابر با صفر میشود (ریشهها) را پیدا کنیم:
1. معادله درجه دوم: \( x^2 - 5x - 3 = 0 \)
ریشهها به وسیلهی فرمول عمومی یا روش دلتا قابل محاسبه هستند. \(\Delta = b^2 - 4ac = 25 + 12 = 37\).
2. حل ریشهها: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{2} \)
پس از یافتن ریشهها، یک خط عدد رسم کرده و به بررسی علامت در فاصلهها بپردازید تا بازههایی که در آن نامعادله برقرار است، مشخص شود.
**ب**: \((x+3)^2 - (2x-1)^2 \geq 8\)
نامعادله به صورت اختلاف دو مربع است که میتوان سادهسازی کرد:
\((x+3 + 2x-1)(x+3 - 2x+1) \geq 8\)
محاسبه کنید و به یک معادله سادهتر برسید:
\((3x + 2)(2 - x) \geq 8\)
سپس دو برابر صفر را حل کنید و مانند مرحله قبل، بازههای صحیح را پیدا کنید.
**ج**: \(\frac{x^2 - 5x + 6}{-x^2 + 7x - 10} > 0\)
این نامعادله کسری است. برای حل:
1. صورت و مخرج را جداگانه صفر کنید:
\[
x^2 - 5x + 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-2)(x-3) = 0
\]
\[
-x^2 + 7x - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-2)(x-5) = 0
\]
2. ریشهها: \(x = 2, 3, 5\)
3. نمودار خطی کشیده و به بررسی علامت در بازهها بپردازید و نقاط تکمیلی که در آنها تفاوت مثبت و منفی میشود را مشخص کنید.
**د**: \(\frac{x^2 - x}{x^2 + 4} \leq 0\)
برای نامعادله با کسر:
1. صورت صفر: \(x(x-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, 1\)
2. نمودار خطی بکشید و داخل بازهها جایگذاری کنید تا بازه مناسب مشخص شود، دقت کنید که مخرج برابر صفر نشود.
**ه**: \(\frac{x - 4}{x + 3} < 2\)
نابرابری کسری را به شکلی تبدیل کنید که یک طرف صفر باشد:
\[
\frac{x-4}{x+3} - 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{x-4-2(x+3)}{x+3} < 0
\]
ساده کنید:
\[
\frac{-x-10}{x+3} < 0
\]
تمرکز بر روی محاسبه علامت بازهها مانند روش معادلات کسری.
**و**: \(\frac{4x+1}{x-2} \geq 1\)
باز هم نابرابری کسری را سادهکنید:
\[
\frac{4x+1}{x-2} - 1 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{4x+1-x+2}{x-2} \geq 0
\]
ساده شود:
\[
\frac{3x+3}{x-2} \geq 0
\]
کار مشابه استفاده از خط عدد.
در هر مورد، نقطهی بحرانی که نتیجه تفاوت علامت در بازه را میدهد پیدا کنید و محدوده جواب را به دست آورید.
