برای حل این مسئله، ابتدا باید معادله داده شده را حل کنیم تا مقدار \( \alpha \) را بیابیم.
1. معادلهی اصلی:
\[ 3\alpha^2 - \alpha - 1 = 0 \]
برای حل این معادله درجه دوم از فرمول عمومی حل معادله درجه دوم استفاده میکنیم:
\[ \alpha = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
در اینجا:
- \( a = 3 \)
- \( b = -1 \)
- \( c = -1 \)
بنابراین:
\[ \alpha = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 3 \times (-1)}}{2 \times 3} \]
\[ \alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{6} \]
\[ \alpha = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6} \]
دو جواب برای \( \alpha \) داریم:
\[ \alpha_1 = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \quad \alpha_2 = \frac{1 - \sqrt{13}}{6} \]
2. مشخص کردن مقادیر \( A \):
از معادله داده شده:
\[ A = (3\alpha^2 - \alpha) \times 10 + 200 \left( \frac{3 \alpha^2}{\alpha + 1} \right) \]
با توجه به اینکه:
\[ 3\alpha^2 - \alpha - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3\alpha^2 - \alpha = 1 \]
پس:
\[ A = 1 \times 10 + 200 \left( \frac{3 \alpha^2}{\alpha + 1} \right) \]
چون مقدار \( 3\alpha^2 - \alpha = 1 \) باید برای محاسبه قسمت دوم بررسی بیشتری شود، بنابراین باید به سادگی محاسبات عددی را ادامه داده و در هر مرحله برای مقادیر دقیق محاسبه شود.
توجه به اینکه مقادیر ممکن مختلفی برای \( \alpha \) بر اساس ریشههای ذکر شده داریم، هر دو مقدار بررسی شود تا جواب نهایی حاکی از همرفتاری هر دو ریشه باشد.
