برای حل این مسائل باید از قوانین توانها و کسرها بهره ببریم.
### مسأله اول:
عبارت:
\[
(3^{-7} \times 9^{-7} \times (\frac{1}{27})^{-9})
\]
1. ابتدا توانها را ترکیب میکنیم:
- \(9^{-7}\) را به صورت \((3^2)^{-7}\) نوشته و به صورت \(3^{-14}\) تبدیل میکنیم.
بنابراین:
\[
3^{-7} \times 3^{-14} = 3^{-21}
\]
2. \((\frac{1}{27})^{-9}\) را به صورت \((27)^9\) تبدیل میکنیم و \(27 = 3^3\) است، پس:
\[
(3^3)^9 = 3^{27}
\]
3. اکنون تمامی عبارتها بر اساس پایهی 3 هستند:
\[
3^{-21} \times 3^{27} = 3^{6}
\]
نتیجه: \(3^{6}\)
### مسأله دوم:
عبارت:
\[
(\frac{18}{14})^{-5} \times (\frac{9}{28})^{5}
\]
1. هر کسر را جداگانه به صورت توان محاسبه میکنیم:
\[
(\frac{18}{14})^{-5} = (\frac{14}{18})^{5}
\]
2. برای \((\frac{9}{28})^{5}\):
- سادهسازی دقیق نمیکنیم و عددها به عنوان \(\frac{9}{28}\) باقی میمانند.
3. اکنون تمامی موارد را ترکیب میکنیم:
\[
(\frac{14}{18})^{5} \times (\frac{9}{28})^{5} = (\frac{14 \times 9}{18 \times 28})^{5}
\]
4. سادهسازی:
- حاصل کسر داخل پرانتز را به صورت اختصاری محاسبه میکنیم. \(14 = 2 \times 7\)، \(18 = 2 \times 9\) و \(28 = 4 \times 7\)، بنابراین:
\[
\frac{14 \times 9}{18 \times 28} = \frac{126}{504}
\]
- با سادهسازی:
\[
\frac{126}{504} = \frac{1}{4}
\]
5. محاسبه نهایی:
\[
(\frac{1}{4})^5 = \frac{1}{1024}
\]
نتیجه: \(\frac{1}{1024}\)
این نتایج نهایی دو مسئله است.
