برای حل این مسئله، ابتدا باید تابع سود را مشخص کنیم. تابع هزینه به صورت \( C(x) = 3000 + 5x \) داده شده است و هر کالا به قیمت \( 70 \) تومان به فروش می‌رسد.
### الف) تعیین تابع سود و رسم نمودار آن
تابع سود به صورت زیر تعریف می‌شود:
\[ S(x) = R(x) - C(x) \]
در اینجا، \( R(x) \) درآمد از فروش \( x \) کالا است که برابر است با:
\[ R(x) = 70x \]
بنابراین، تابع سود به شکل زیر خواهد بود:
\[ S(x) = 70x - (3000 + 5x) = 70x - 3000 - 5x = 65x - 3000 \]
### ب) حداقل تعداد کالا برای سوددهی
برای پیدا کردن حداقل تعداد کالایی که باید بفروشد تا سودده باشد، باید \( S(x) \) غیرمنفی باشد:
\[ 65x - 3000 \geq 0 \]
این معادله را حل می‌کنیم:
\[ 65x \geq 3000 \]
سپس هر دو طرف را بر \( 65 \) تقسیم می‌کنیم:
\[ x \geq \frac{3000}{65} \]
با محاسبه:
\[ x \geq 46.15 \]
از آنجا که تعداد کالا باید عدد صحیح باشد، حداقل تعداد کالا \( 47 \) است تا سوددهی شروع شود.
