برای یافتن مقدار \(a\) ابتدا باید فاصله نقطه \( (3, 4) \) از خط \( x + 3y = a \) را محاسبه کنیم. فرمول فاصله یک نقطه \( (x_0, y_0) \) از یک خط با معادله \( Ax + By + C = 0 \) به صورت زیر است:
\[
\text{فاصله} = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
ابتدا معادله خط \( x + 3y = a \) را به فرمی که برای رابطه فاصله استفاده میکنیم تبدیل میکنیم:
\[
x + 3y - a = 0
\]
اینجا داریم:
- \(A = 1\)
- \(B = 3\)
- \(C = -a\)
حالا نقطه \( (x_0, y_0) = (3, 4) \) را جایگزین میکنیم:
\[
\text{فاصله} = \frac{|1 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - a|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|3 + 12 - a|}{\sqrt{10}} = \frac{|15 - a|}{\sqrt{10}}
\]
بر اساس سوال، فاصله این نقطه از خط برابر با \(\frac{3}{\sqrt{10}}\) است. پس معادله زیر را مینویسیم:
\[
\frac{|15 - a|}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}
\]
با ضرب هر دو طرف معادله در \(\sqrt{10}\) مقدار زیر به دست میآید:
\[
|15 - a| = 3
\]
اینجا دو حالت وجود دارد:
1. \(15 - a = 3\)
حل این معادله:
\[
15 - 3 = a \implies a = 12
\]
2. \(15 - a = -3\)
حل این معادله:
\[
15 + 3 = a \implies a = 18
\]
پس، دو مقدار ممکن برای \(a\) داریم: \(a = 12\) و \(a = 18\).
در نتیجه، مقادیر ممکن برای \(a\) عبارتند از: \(12\) و \(18\).
