برای حل این سوال، تابع \( f(x) = 3x^2 + 6x + a \) داده شده و گفته شده مقدار مینیمم این تابع برابر با \(-9\) است.
برای پیدا کردن مینیمم این تابع، ابتدا مشتق تابع را میگیریم:
\[ f'(x) = 6x + 6 \]
مشتق را برابر صفر قرار میدهیم تا نقطه بحرانی پیدا شود:
\[ 6x + 6 = 0 \]
\[ x = -1 \]
حالا مقدار تابع در \( x = -1 \) را پیدا میکنیم:
\[ f(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + a \]
\[ f(-1) = 3 - 6 + a \]
\[ f(-1) = a - 3 \]
طبق سوال، مقدار مینیمم برابر \(-9\) است:
\[ a - 3 = -9 \]
\[ a = -6 \]
حالا با \( a = -6 \)، تابع به صورت زیر خواهد بود:
\[ f(x) = 3x^2 + 6x - 6 \]
برای پیدا کردن صفرهای تابع، \( f(x) = 0 \) را حل میکنیم:
\[ 3x^2 + 6x - 6 = 0 \]
با تقسیم بر 3:
\[ x^2 + 2x - 2 = 0 \]
از فرمول کلی حل معادله درجه دوم استفاده میکنیم:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
که در اینجا \( a = 1 \)، \( b = 2 \)، و \( c = -2 \) است:
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} \]
\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} \]
\[ x = -1 \pm \sqrt{3} \]
صفرها برابرند با \( -1 + \sqrt{3} \) و \( -1 - \sqrt{3} \). حالا، حاصلضرب صفرها را پیدا میکنیم:
حاصلضرب صفرها \( c/a \) است که برابر با \( -2/1 = -2 \) است.
پاسخ گزینه \( 2 \) یعنی \(-2\) است.
