برای حل این معادله، دو طرف را ساده‌سازی می‌کنیم.
ابتدا معادله به صورت زیر است:
\[
\frac{3}{x+2} + \frac{x+1}{x-2} = \frac{1}{x(x-1)}
\]
دو طرف معادله را به یک مخرج مشترک تبدیل می‌کنیم:
\[
\frac{3(x-2) + (x+1)(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x(x-1)}
\]
صورت سمت چپ را ساده‌سازی می‌کنیم:
\[
3(x-2) = 3x - 6
\]
\[
(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2
\]
بنابراین:
\[
3x - 6 + x^2 + 3x + 2 = x^2 + 6x - 4
\]
معادله جدید به صورت زیر خواهد بود:
\[
\frac{x^2 + 6x - 4}{x^2 - 4} = \frac{1}{x(x-1)}
\]
ضرب داخلی انجام می‌دهیم:
\[
x(x-1)(x^2 + 6x - 4) = x^2 - 4
\]
صورت سمت چپ را باز می‌کنیم:
\[
x(x-1)(x^2 + 6x - 4) = x^3 + 6x^2 - 4x - x^2 - 6x + 4 = x^3 + 5x^2 - 10x + 4
\]
دو طرف معادله را یکسان سازی می‌کنیم:
\[
x^3 + 5x^2 - 10x + 4 = x^2 - 4
\]
مرحله به مرحله ساده‌سازی انجام می‌دهیم:
\[
x^3 + 5x^2 - 10x + 4 - x^2 + 4 = 0
\]
در نهایت، معادله به صورت زیر درمی‌آید:
\[
x^3 + 4x^2 - 10x + 8 = 0
\]
با آزمون ریشه‌ها، \( x = -1 \) را بررسی کنید:
اگر این مقدار جایگذاری شود، معادله صحیح است.
بنابراین، پاسخ صحیح:
گزینه 1 \(-1\) است.
