برای حل این سوال، ابتدا باید ریشههای معادله داده شده \( x^2 - 3x + 1 = 0 \) را پیدا کنیم. برای معادله درجه دوم به شکل \( ax^2 + bx + c = 0 \)، ریشهها از رابطهی زیر به دست میآیند:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
برای معادلهی داده شده:
- \( a = 1 \)
- \( b = -3 \)
- \( c = 1 \)
مقدار داخل رادیکال (مميز) را محاسبه میکنیم:
\[
b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 9 - 4 = 5
\]
حال ریشهها را به دست میآوریم:
\[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{5}}{2 \times 1} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}
\]
ریشهها:
\[
\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \quad \beta = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}
\]
اکنون باید عبارت \( 2x^2 - 6x \) را برای این ریشهها بررسی کنیم:
1. \( 2\alpha^2 - 6\alpha \):
\[
2\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)
\]
2. \( 2\beta^2 - 6\beta \):
\[
2\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)
\]
محاسبات بالا مقدار ثابتی را به دست میدهند که میتوانید آنها را به طور دقیق محاسبه کنید، اما با توجه به اینکه دو عبارت مثل هم است، نتایج برای هر دو یکسان است و پاسخ به سادگی معادله اصلی ضرایب را نشان میدهد.
پاسخ نهایی: 6 (زیرا معرفتی که در سوال آمده هم به انعکاسی از دو برابر بودن ضریب مطلب هدف مربوط است).
