برای حل این سوال، باید کسر رو به پایه‌ی یک عدد صحیح تبدیل کنیم. به عنوان مثال، مسئله می‌خواهد مقدار \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{10}(243)} \) را محاسبه کنیم.
ابتدا \( 243 \) را به صورت توانی از عددی کوچک‌تر بیان می‌کنیم:
\[ 243 = 3^5 \]
بنابراین:
\[ \log_{10}(243) = \log_{10}(3^5) = 5 \cdot \log_{10}(3) \]
حال باید مقدار \( \left(\frac{1}{3}\right)^{5 \cdot \log_{10}(3)} \) را پیدا کنیم. به کمک قانون توان‌ها:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{5 \cdot \log_{10}(3)} = \left(3^{-1}\right)^{5 \cdot \log_{10}(3)} = 3^{-5 \cdot \log_{10}(3)} \]
با توجه به اینکه \( 3^{\log_{10}(3)} = 10 \):
\[ 3^{-5 \cdot \log_{10}(3)} = (3^{\log_{10}(3)})^{-5} = 10^{-5} \]
بنابراین جواب عدد \( \frac{1}{10^5} \) یا معادل آن \( 0.00001 \) است.
نتیجه نهایی:
\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{\log_{10}(243)} = 0.00001 \]
