این سوال شامل زنجیره‌ای از روابط جبری است. در اینجا هر رابطه به ترتیب آورده شده و سپس به سمت پاسخ پیش رفته‌اند.
1. دادن رابطه: \( x + \frac{1}{x} = 3 \).
- از این رابطه به توان ۲ می‌رسیم:
\[
x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9 \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = 7
\]
2. مرحله بعدی:
- رساندن به توان ۳:
\[
x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 47 \implies x^3 + \frac{1}{x^3} = 18
\]
3. مرحله بعدی:
- رساندن به توان ۴:
\[
(x^3 + \frac{1}{x^3})(x + \frac{1}{x}) = x^4 + x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^4}
\]
- با توجه به محاسبات:
\[
18 \times 3 = 54
\]
- به دست آمد:
\[
x^4 + \frac{1}{x^4} = 47
\]
4. مرحله بعدی:
- رساندن به توان ۵:
\[
(x^4 + \frac{1}{x^4})(x + \frac{1}{x}) = x^5 + x^3 + \frac{1}{x^3} + \frac{1}{x^5}
\]
- به دست می‌آید:
\[
47 \times 3 = 141
\]
- به دست آمد:
\[
x^5 + \frac{1}{x^5} = 141
\]
این روند تا جایی تکمیل شده که به نتیجه‌ی مورد نظر رسیده‌اند. در نهایت:
\( x^7 + \frac{1}{x^7} = 843 \).
بنابراین با انجام محاسبات مناسب در هر مرحله به این نتیجه دست پیدا کرده‌ایم.
