برای حل نامعادله \(\sqrt{x} \leq \frac{1}{x}\) با روش هندسی، به شکل کلی زیر عمل میشود:
1. **تعیین دامنه**: چون تابعهای \(\sqrt{x}\) و \(\frac{1}{x}\) مطرح هستند:
- برای \(\sqrt{x}\)، باید \(x \geq 0\).
- برای \(\frac{1}{x}\)، باید \(x > 0\) باشد.
بنابراین، \(x > 0\).
2. **تحلیل تقاطع**: دو تابع \(y = \sqrt{x}\) و \(y = \frac{1}{x}\) را بررسی میکنیم.
- با مساوی قرار دادن آنها برای پیدا کردن نقاط تقاطع:
\(\sqrt{x} = \frac{1}{x}\)
- با مربع کردن مابین طرفین:
\[ x = \frac{1}{x^2} \]
\[ x^3 = 1 \]
\[ x = 1 \]
3. **تعیین نقاط و نواحی**:
- یا قرار دادن مقادیر نزدیک به نقاط تقاطع در تابع:
- برای \(0 < x < 1\)، مقدار \(\sqrt{x}\) بزرگتر از \(\frac{1}{x}\) است.
- برای \(x > 1\)، مقدار \(\sqrt{x}\) کوچکتر از \(\frac{1}{x}\) است.
بنابراین، مجموعه جواب نامعادله در بازه \((1, \infty)\) است.
