برای حل این سوالها به صورت تشریحی:
**سوال ۱۴:**
الف) **دامنه و برد تابع** \( f \):
تابع \( f \) به صورت مجموعهای از زوج مرتبها داده شده است:
\[ f = \{(0, 1), (2, 2), (3, 4), (-1, 2), (3, 5)\} \]
- **دامنه (Domain)**: مجموعه تمام مقادیر ورودی که تابع تعریف شده است. بنابراین:
\[ D_f = \{-1, 0, 2, 3\} \]
- **برد (Range)**: مجموعه تمام مقادیر خروجی که تابع میتواند بگیرد. بنابراین:
\[ R_f = \{1, 2, 4, 5\} \]
ب) **مقادیر \( f(5) \) و \( f(3) \) را بدست آورید**:
- از روی زوج مرتبها، \( f(3) \) به دو مقدار 4 و 5 مقداردهی شده است که تابع معتبر نیست زیرا تابع نمیتواند برای یک ورودی دو خروجی متفاوت داشته باشد. اما بر اساس ورودیها، بیشترین مقدار \( f(3) = 4 \) است.
- مقدار \( f(5) \) در زوج مرتبها وجود ندارد و نمیتوان به طور مستقیم تعیین کرد.
**سوال ۱۵:**
برای یک تابع خطی \( f \) داریم که:
\[ f(3) = 2 \] و \[ f(5) = 5 \]
فرمول کلی یک تابع خطی به صورت \( f(x) = ax + b \) است. دو مقدار داریم:
1. \( 3a + b = 2 \)
2. \( 5a + b = 5 \)
این دو معادله را با هم حل میکنیم:
- از معادله اول: \( b = 2 - 3a \)
جایگذاری در معادله دوم:
\[ 5a + (2 - 3a) = 5 \]
\[ 2a + 2 = 5 \]
\[ 2a = 3 \]
\[ a = \frac{3}{2} \]
سپس \( b \) را پیدا میکنیم:
\[ b = 2 - 3(\frac{3}{2}) \]
\[ b = 2 - \frac{9}{2} \]
\[ b = -\frac{5}{2} \]
بنابراین نمایش جبری تابع:
\[ f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{5}{2} \]
**سوال ۱۶:**
نمودار تابع و مشخص کردن دامنه و برد:
تابع داده شده به صورت تکهتکه است:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2 & \text{اگر } x \geq ... \\
-x - 3 & \text{اگر } x < ...
\end{cases}
\]
بدون اعداد مشخص در تصویر، نمیتوانیم محدودهها را تعیین کنیم. بنابراین فرض میکنیم \( x \geq a \) و \( x < a \).
دامنه تابع: تمامی اعداد حقیقی \([-∞ , ∞]\)
برد تابع برای \( x^2 \) از \( a \) به سمت راست: \([a^2 , ∞]\) و برای \(-x - 3 \): \([-∞ , a-3]\).
