برای حل این سوال، باید ابتدا عبارات توان‌دار را ساده کنیم.
عبارت زیر سوال برای ساده‌سازی داده شده است:
\[
\frac{\left( \frac{1}{9} \right)^{-5} \times 27^{-4}}{81^{-2} \times \left( \frac{1}{243} \right)^2}
\]
ابتدا هر عدد را به صورت پایه 3 بازنویسی می‌کنیم:
\- \( 9 = 3^2 \) بنابراین \( \left(\frac{1}{9}\right)^{-5} = (3^{-2})^{-5} = 3^{10} \)
\- \( 27 = 3^3 \) بنابراین \( 27^{-4} = 3^{-12} \)
\- \( 81 = 3^4 \) بنابراین \( 81^{-2} = 3^{-8} \)
\- \( 243 = 3^5 \) بنابراین \( \left(\frac{1}{243}\right)^2 = (3^{-5})^2 = 3^{-10} \)
سپس این مقادیر را در عبارت قرار می‌دهیم:
\[
\frac{3^{10} \times 3^{-12}}{3^{-8} \times 3^{-10}}
\]
اکنون از قوانین توان‌ها استفاده می‌کنیم:
\- در صورت، توان‌ها را جمع می‌کنیم: \( 3^{10} \times 3^{-12} = 3^{10 + (-12)} = 3^{-2} \)
\- در مخرج، توان‌ها را جمع می‌کنیم: \( 3^{-8} \times 3^{-10} = 3^{-8 + (-10)} = 3^{-18} \)
عبارت نهایی به صورت زیر است:
\[
\frac{3^{-2}}{3^{-18}} = 3^{-2 - (-18)} = 3^{16}
\]
پس، حاصل به صورت یک عدد توان‌دار برابر است با \(3^{16}\) و گزینه \(9^{8}\) که برابر \(3^{16}\) است، می‌تواند گزینه صحیح باشد. بنابراین، عدد توان‌دار معادل \(9^{8}\) است ولی گزینه موجود نیست، لذا \(3^{16}\) گزینه \(3\) صحیح است.
