برای حل این سوال، از فرمول انرژی جنبشی استفاده میکنیم:
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2 \]
در ابتدا انرژی جنبشی را برای حالت اول در نظر میگیریم. با توجه به این که انرژی جنبشی برابر 100J است، داریم:
\[ 100 = \frac{1}{2} m v^2 \]
این معادله را میتوان به صورت زیر نوشت:
\[ mv^2 = 200 \quad (1) \]
حال به حالت دوم که تندی جسم ۲ برابر و جرم آن ۵ کیلوگرم بیشتر شده است، نگاه میکنیم. پس از تغییرات، داریم:
تندی جدید \( V' = 2v \) و جرم جدید \( m' = m + 5 \).
برای این حالت، انرژی جنبشی برابر 1200J است، بنابراین:
\[ 1200 = \frac{1}{2} (m + 5) (2v)^2 \]
این را میتوانیم به صورت زیر ساده کنیم:
\[ 1200 = \frac{1}{2} (m + 5) \cdot 4v^2 \]
\[ 1200 = 2(m + 5)v^2 \]
از اینجا میتوانیم بنویسیم:
\[ (m + 5)v^2 = 600 \quad (2) \]
حالا دو معادله (1) و (2) را داریم:
1. \( mv^2 = 200 \)
2. \( (m + 5)v^2 = 600 \)
از معادله (1) میتوانیم \( v^2 \) را به دست آوریم:
\[ v^2 = \frac{200}{m} \]
حالا این نتیجه را در معادله (2) قرار میدهیم:
\[ (m + 5)\left(\frac{200}{m}\right) = 600 \]
در اینجا میتوانیم دو طرف معادله را بر \( m \) ضرب کنیم:
\[ (m + 5) \cdot 200 = 600m \]
حالا معادله را ساده میکنیم:
\[ 200m + 1000 = 600m \]
حالا اعضای مشابه را جمع میکنیم:
\[ 1000 = 600m - 200m \]
\[ 1000 = 400m \]
حال، \( m \) را به دست میآوریم:
\[ m = \frac{1000}{400} = 2.5 \, \text{kg} \]
با استفاده از \( m \) میتوانیم \( v^2 \) را پیدا کنیم:
حالا از معادله (1) دوباره استفاده میکنیم:
\[ mv^2 = 200 \]
\[ 2.5v^2 = 200 \]
حال \( v^2 \) را حل میکنیم:
\[ v^2 = \frac{200}{2.5} = 80 \]
و با گرفتن جذر، مقدار \( v \) را به دست میآوریم:
\[ v = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8.94 \, \text{m/s} \]
بنابراین:
مقدار جرم \( m \) برابر با 2.5 kg و مقدار تندی \( v \) تقریباً برابر با 8.94 m/s است.
