برای اثبات اینکه در یک متوازیالاضلاع، فاصله دو رأس با هم برابر است با طول قطر، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **تعریف متوازیالاضلاع**: متوازیالاضلاع یک چهارضلعی است که در آن هر دو جفت اضلاع مخالف هم平 و همطول هستند.
2. **رؤسای متوازیالاضلاع**: فرض کنید متوازیالاضلاع \( ABCD \) داریم که در آن \( A \)، \( B \)، \( C \) و \( D \) به ترتیب رأسها هستند.
3. **پیدا کردن طول قطرها**: قطرهای این متوازیالاضلاع، قطرهای \( AC \) و \( BD \) هستند. حالا باید نشان دهیم که:
- فاصله \( A \) و \( C \) برابر با طول قطر \( AC \) و همچنین فاصله \( B \) و \( D \) برابر با طول قطر \( BD \) است.
4. **فاصله و فرمول آن**: فاصله بین دو نقطه \( (x_1, y_1) \) و \( (x_2, y_2) \) با استفاده از فرمول فاصله به صورت زیر محاسبه میشود:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
5. **اثبات برابری فاصله**:
- برای متوازیالاضلاع:
- با توجه به ویژگیهای هندسی و the parallelogram law، میدانیم که
\[
AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + AD^2)
\]
- بنابراین با نگاهی به مثلثهای \( ACD \) و \( BCD \)، معلوم میشود که طول قطر \( AC \) برابر با فاصله \( A \) و \( C \) و طول قطر \( BD \) برابر با فاصله \( B \) و \( D \) است.
6. **نتیجهگیری**: این نتیجه میرسد که در یک متوازیالاضلاع، فاصله بین دو راس با هم برابر است با طول قطری که آن دو رأس را به هم متصل میکند.
به این ترتیب، اثبات کردیم که در یک متوازیالاضلاع، فاصله دو رأس با هم با قطر برابر است.
