برای حل این مسئله، ابتدا نام دو چاپگر را مشخص میکنیم: چاپگر قدیم را \( C \) و چاپگر جدید را \( N \) نامگذاری میکنیم.
فرض کنیم چاپگر قدیم به تنهایی \( x \) ساعت برای چاپ فیش حقوق نیاز دارد. بنابراین، توانایی چاپ آن را میتوان به صورت \(\frac{1}{x}\) کار در هر ساعت نوشت. چاپگر جدید نیز به تنهایی \( y \) ساعت برای چاپ فیش حقوق نیاز دارد که ما باید مشخص کنیم. طبق سوال، چاپگر جدید به تنهایی 10 ساعت زودتر از چاپگر قدیم کار میکند، بنابراین داریم:
\[
y = x - 10
\]
حال میدانیم که وقتی این دو چاپگر با هم کار میکنند، فیش حقوق کارگران در 12 ساعت چاپ میشود. بنابراین، توانایی چاپ آنها با هم در یک ساعت به صورت زیر است:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
\]
حالا میتوانیم از رابطه \( y = x - 10 \) استفاده کنیم و آن را در معادله جایگزین کنیم:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} = \frac{1}{12}
\]
حالا، برای حل این معادله، ابتدا کسرها را برابر یک کسر مشترک میکنیم:
\[
\frac{(x - 10) + x}{x(x - 10)} = \frac{1}{12}
\]
این معادله به شکل زیر در میآید:
\[
\frac{2x - 10}{x(x - 10)} = \frac{1}{12}
\]
سپس ضرب متقابل میزنیم:
\[
12(2x - 10) = x(x - 10)
\]
حالا این معادله را ساده میکنیم:
\[
24x - 120 = x^2 - 10x
\]
تمام عبارتها را به یک طرف معادله منتقل میکنیم:
\[
x^2 - 34x + 120 = 0
\]
اکنون میتوانیم از روش پورسم برای حل معادله درجه دوم استفاده کنیم:
با استفاده از فرمول کلی برای حل معادلات درجه دوم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در اینجا \( a = 1 \)، \( b = -34 \)، و \( c = 120 \) داریم:
\[
x = \frac{34 \pm \sqrt{(-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 120}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{34 \pm \sqrt{1156 - 480}}{2}
\]
\[
x = \frac{34 \pm \sqrt{676}}{2}
\]
\[
x = \frac{34 \pm 26}{2}
\]
دو جواب برای \( x \) داریم:
1. \( x = \frac{60}{2} = 30 \)
2. \( x = \frac{8}{2} = 4 \)
اما تنها جواب منطقی برای زمان چاپگر قدیم، همان \( x = 30 \) است. حالا به کمک این عدد میتوانیم \( y \) را بدست آوریم:
\[
y = x - 10 = 30 - 10 = 20
\]
بنابراین:
- چاپگر قدیم به تنهایی در 30 ساعت فیش حقوق را چاپ میکند.
- چاپگر جدید به تنهایی در 20 ساعت فیش حقوق را چاپ میکند.
نتیجهگیری:
- چاپگر قدیم: 30 ساعت
- چاپگر جدید: 20 ساعت
