برای پیدا کردن نمایش جبری تابع خطی \( f(x) \) با شرایط داده شده، باید ابتدا فرم عمومی یک تابع خطی را در نظر بگیریم:
\[ f(x) = ax + b \]
شرایط داده شده این است که:
\[ f(2) = 1 \]
\[ f(5) = 5 \]
ابتدا این دو شرایط را به معادلات تبدیل می‌کنیم. با جایگذاری در فرم عمومی داریم:
1. \( 2a + b = 1 \)
2. \( 5a + b = 5 \)
حالا یک دستگاه معادله دو مجهولی داریم که با حل آن می‌توانیم \( a \) و \( b \) را پیدا کنیم:
از معادله اول: \( 2a + b = 1 \)
از معادله دوم: \( 5a + b = 5 \)
با تفریق معادله اول از معادله دوم داریم:
\[ (5a + b) - (2a + b) = 5 - 1 \]
این به ما می‌دهد:
\[ 3a = 4 \]
پس:
\[ a = \frac{4}{3} \]
اکنون \( a \) را به دست آورده‌ایم، آن را در یکی از معادلات اولیه جایگذاری می‌کنیم تا \( b \) بدست آید. از معادله اول استفاده می‌کنیم:
\[ 2a + b = 1 \]
\[ 2 \times \frac{4}{3} + b = 1 \]
\[ \frac{8}{3} + b = 1 \]
\[ b = 1 - \frac{8}{3} = \frac{3}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3} \]
پس نمایش جبری تابع به صورت زیر است:
\[ f(x) = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3} \]
