برای یافتن دامنه تابع \( f(x) = \sqrt{\frac{3x-1}{x+2}} \)، باید شرایط زیر را بررسی کنیم تا عبارت زیر رادیکال و مخرج کسر معتبر باشند:
1. عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد:
\[
\frac{3x-1}{x+2} \geq 0
\]
2. مخرج کسر باید ناصفر باشد:
\[
x+2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -2
\]
برای حل نامعادله، ابتدا نقاط بحرانی را پیدا می‌کنیم:
- صورت: \(3x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3}\)
- مخرج: \(x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2\)
جدول تغییرات علامت را به صورت زیر می‌سازیم:
\[
x: \quad (-\infty, -2) \quad \cup \quad (-2, \frac{1}{3}) \quad \cup \quad (\frac{1}{3}, +\infty)
\]
- برای \( x \in (-\infty, -2) \)، کسر \(\frac{3x-1}{x+2} < 0\)
- برای \( x \in (-2, \frac{1}{3}) \)، کسر \(\frac{3x-1}{x+2} > 0\)
- برای \( x \in (\frac{1}{3}, +\infty) \)، کسر \(\frac{3x-1}{x+2} > 0\)
نتیجه می‌شود که دامنه تابع از دو بازه زیر تشکیل شده است:
\[
(-2, \frac{1}{3}] \cup (\frac{1}{3}, +\infty)
\]
