برای پاسخ به این سوال، ابتدا نیاز داریم تا تعریف توابع تانژانت را به یاد بیاوریم.
تابع تانژانت برای هر زاویه α به شکل زیر تعریف می‌شود:
\[
\tan(\alpha) = \frac{\text{sin}(\alpha)}{\text{cos}(\alpha)}
\]
حالا می‌توانیم به سراغ محاسبه‌ی \( \tan(120^\circ) \) برویم.
1. **محاسبه \( \tan(120^\circ) \)**:
- زاویه \( 120^\circ \) در ربع دوم مختصات قرار دارد. در آنجا سینوس مثبت و کسینوس منفی است.
- می‌دانیم که \( 120^\circ = 180^\circ - 60^\circ \).
- از هویت‌های مثلثاتی استفاده می‌کنیم:
\[
\tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ)
\]
2. **محاسبه \( \tan(60^\circ) \)**:
- می‌دانیم که \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \).
3. **حال می‌توانیم مقدار \( \tan(120^\circ) \) را محاسبه کنیم**:
\[
\tan(120^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}
\]
4. **حالا محاسبه \( \tan(60^\circ) \)**:
- همان‌طور که گفتیم \( \tan(60^\circ) = \sqrt{3} \).
- طبعاً \( -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3} \).
با این توضیحات، می‌بینیم که:
\[
\tan(120^\circ) = -\tan(60^\circ)
\]
به این ترتیب، نتیجه می‌گیریم که:
\[
\tan(120^\circ) \equiv \tan(60^\circ)^{-1}
\]
یا به عبارت دیگر:
\[
\tan(120^\circ) = \tan(60^\circ) \cdot (-1)
\]
به این ترتیب اثبات کردیم که \( \tan(120^\circ) \) با \( -\tan(60^\circ) \) برابره.
