برای حل این معادلهی مثلثاتی، ابتدا باید روابط مثلثاتی را ساده کرده و از همارزیها استفاده کنیم.
معادله داده شده به صورت زیر است:
\[
\frac{\sin^2 \alpha - \tan^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \cot^2 \alpha} = \tan^3 \alpha
\]
### مرحله ۱: استفاده از روابط مثلثاتی
ابتدا روابط مثلثاتی زیر را به خاطر داشته باشیم:
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}
\]
و
\[
\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}
\]
### مرحله ۲: جایگذاری و سادهسازی
ابتدا بر حسب سینوس و کسینوس معادله را بازنویسی میکنیم:
\[
\tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]
\[
\cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]
بنابراین:
صورت کسر به این شکل در میآید:
\[
\sin^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]
مخرج کسر به این شکل در میآید:
\[
\cos^2 \alpha - \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]
### مرحله ۳: تشکیل کسر نهایی و سادهسازی
حال، کل کسر به شکل زیر خواهد بود:
\[
\frac{\frac{\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}}{\frac{\cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}
\]
با ضرب مقسومٌعلیه در وارونِ مقسوم (ضرب در معکوس)، خواهیم داشت:
\[
\frac{(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha) \times \sin^2 \alpha}{(\cos^4 \alpha - \cos^2 \alpha) \times \cos^2 \alpha} = \tan^3 \alpha
\]
با سادهسازی بیشتر، نتیجه میگیریم که هم دو طرف کسر برابر میشود:
بنابراین این معادله ثابت است که \(\tan \alpha\) حقیقی است.
