برای حل این سوال، ابتدا معادله را بررسی میکنیم. گفته شده که ریشه سوم عدد \( A \)، برابر با دو سوم ریشه دوم مثبت عدد \( A \) است. ما میتوانیم این را به صورت ریاضی بیان کنیم:
\[
\sqrt[3]{A} = \frac{2}{3} \sqrt{A}
\]
برای سادهسازی این معادله، هر دو طرف را به توان 3 میزنیم:
\[
A = \left( \frac{2}{3} \sqrt{A} \right)^3
\]
بیایید بخش راست معادله را محاسبه کنیم:
\[
\left( \frac{2}{3} \sqrt{A} \right)^3 = \frac{2^3}{3^3} \cdot (\sqrt{A})^3 = \frac{8}{27} \cdot A^{3/2}
\]
حالا معادله ما به این صورت درمیآید:
\[
A = \frac{8}{27} A^{3/2}
\]
حال برای راحتی، \( A \) را میتوانیم به سمت چپ جمع کنیم:
\[
A - \frac{8}{27} A^{3/2} = 0
\]
این معادله را میتوان به شکل زیر نوشت:
\[
A^{3/2} \cdot \left(- \frac{8}{27} + \frac{A}{A^{3/2}}\right) = 0
\]
این معادله به دو حالت حل میشود. یکی از آنها وقتی است که \( A^{3/2} = 0 \) که به \( A = 0 \) منجر میشود. حالت دوم:
\[
-\frac{8}{27} + \frac{A}{A^{3/2}} = 0
\]
با سروسامان دادن این معادله، مینویسیم:
\[
\frac{A}{A^{3/2}} = \frac{8}{27}
\]
بنابراین:
\[
A^{1 - \frac{3}{2}} = \frac{8}{27}
\]
\[
A^{-\frac{1}{2}} = \frac{8}{27}
\]
حالا هر دو طرف را به توان منفی 2 میزنیم:
\[
A = \left(\frac{27}{8}\right)^2
\]
محاسبه این مقدار:
\[
A = \frac{729}{64}
\]
بنابراین، پاسخ نهایی ما برای عدد \( A \) به صورت زیر است:
\[
A = \frac{729}{64}
\]
