برای حل این مسئله، ابتدا به معادله‌ی داده شده می‌پردازیم:
معادله: \( y = 1 + \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \)
## مراحل حل:
1. **تبدیل لگاریتم:**
لگاریتم به پایه \(\frac{1}{2}\) به این معنی است که لگاریتم با پایه کمتر از 1 است و نمودار آن به سمت راست نزولی است.
2. **شرط دامنه:**
تابع لگاریتم فقط برای مقادیر مثبت تعریف شده است، بنابراین:
\[
x - 2 > 0 \implies x > 2
\]
پس دامنه‌ی تابع ما \( x > 2 \) است.
3. **نقاط مهم تابع:**
ابتدا مقدار \( x = 3 \) را در تابع جایگذاری می‌کنیم تا نقطه‌ای روی نمودار به دست آوریم:
\[
y = 1 + \log_{\frac{1}{2}}(3 - 2) = 1 + \log_{\frac{1}{2}}(1) = 1 + 0 = 1
\]
بنابراین، این تابع از نقطه‌ی \( (3, 1) \) می‌گذرد.
4. **رفتار نمودار:**
برای \( x \to 2^+ \) مقدار \( (x - 2) \) به 0 نزدیک می‌شود و \(\log_{\frac{1}{2}}(x - 2)\) به سمت منفی بی‌نهایت میل می‌کند. بنابراین، \( y \to -\infty \).
5. **نمودار کلی**
همان‌طور که \( x \) افزایش می‌یابد، \( (x - 2) \) افزایش یافته و \( \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \) کاهش می‌یابد، اما مثبت می‌شود. نمودار از چپ به راست نزولی است و هیچ حدی برای بالای نمودار وجود ندارد زیرا لگاریتم می‌تواند به بی‌نهایت برسد.
به طور خلاصه، نمودار از نقطه \( (3, 1) \) می‌گذرد، در نزدیکی \( x = 2 \) به سمت -بی‌نهایت میل می‌کند و به سمت چپ نزولی نیست اما به سمت راست نامحدود است.
