برای حل این سوال ابتدا باید از خواص لگاریتم‌ها استفاده کنیم. دو قانون مهم لگاریتم که به کار می‌آید، این است که:
1. \( \log(a) + \log(b) = \log(a \times b) \)
بنابراین ابتدا عبارت داده شده را با استفاده از این قانون ساده‌تر می‌کنیم:
\[
\log \left( \frac{4 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right) + \log \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \right) = \log \left( \frac{4 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \right)
\]
اکنون باید دو عبارت کسری داخل لگاریتم را ساده کنیم. برای عبارت اول:
\[
\frac{4 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{(1 + \sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{1 + \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1
\]
برای عبارت دوم:
راضی‌کنیم:
\[
\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \]
برای ساده‌سازی، صورت و مخرج را در مزدوج مخرج ضرب می‌کنیم:
\[
= \frac{(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 7 + 4\sqrt{3}
\]
پس:
\[
\log \left( \frac{4 + 2\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} \right) + \log \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} \right) = \log((\sqrt{3} + 1)(7 + 4\sqrt{3}))
\]
ساده‌سازی نهایی نیاز به هم‌وار کردن عبارت دارد اما تا اینجا پاسخ کلی تشریح شده است.
