در این مسئله، رشد باکتریها به صورت تابع نمایی مدل شده است. زمانی که تعداد باکتریها بعد از ۲ ساعت از ۲۰۰۰ به ۸۰۰۰ رسیده است، میتوانیم نرخ رشد را پیدا کنیم.
فرمول رشد نمایی به صورت زیر است:
\[
N(t) = N_0 \times e^{rt}
\]
که در آن:
- \( N(t) \) تعداد باکتریها در زمان \( t \) است.
- \( N_0 \) تعداد اولیه باکتریها است.
- \( r \) نرخ رشد است.
- \( t \) زمان است.
- \( e \) عدد اویلر است.
در اینجا:
- \( N_0 = 2000 \)
- \( N(2) = 8000 \)
- \( t = 2 \)
بعد از جایگذاری مقادیر در فرمول داریم:
\[
8000 = 2000 \times e^{2r}
\]
با تقسیم دو طرف معادله بر ۲۰۰۰:
\[
4 = e^{2r}
\]
سپس با گرفتن لگاریتم طبیعی از هر دو طرف داریم:
\[
\ln 4 = 2r
\]
حل برای \( r \):
\[
r = \frac{\ln 4}{2}
\]
حالا که \( r \) را داریم، میتوانیم تعداد باکتریها را بعد از ۴ ساعت پیدا کنیم:
\[
N(4) = 2000 \times e^{4 \times \frac{\ln 4}{2}} = 2000 \times e^{2 \ln 4}
\]
\[
N(4) = 2000 \times (e^{\ln 4})^2 = 2000 \times 4^2 = 2000 \times 16 = 32000
\]
پس تعداد باکتریها پس از ۴ ساعت ۳۲۰۰۰ خواهد بود.
