برای پیدا کردن کمترین مقدار سهمی \( y = 3x^2 + bx + c \) ابتدا باید ضرایب \( b \) و \( c \) را پیدا کنیم. طبق شرط سوال، صفرهای تابع (ریشه‌های معادله) برابر با \( ۳- \) و \( ۵ \) هستند. از آنجا که صفرها در یک تابع درجه دوم به فرم \( ax^2 + bx + c = 0 \) به صورت زیر مرتبط هستند:
1. حاصل جمع ریشه‌ها \( -\frac{b}{a} = x_1 + x_2 \)
2. حاصل ضرب ریشه‌ها \( \frac{c}{a} = x_1 \cdot x_2 \)
در اینجا، ریشه‌ها \( x_1 = -3 \) و \( x_2 = 5 \) هستند.
1. **حاصل جمع ریشه‌ها**:
\[
-3 + 5 = 2 \implies -\frac{b}{3} = 2 \implies b = -6
\]
2. **حاصل ضرب ریشه‌ها**:
\[
(-3) \cdot 5 = -15 \implies \frac{c}{3} = -15 \implies c = -45
\]
حال معادله تابع را داریم:
\[
y = 3x^2 - 6x - 45
\]
برای یافتن کمترین مقدار سهمی، می‌توانیم از فرمول کمینه برای تابع درجه دوم استفاده کنیم، که در آن فرم کلی به صورت \( ax^2 + bx + c \) می‌باشد. کمترین مقدار این تابع در \( x = -\frac{b}{2a} \) رخ می‌دهد.
در اینجا:
\[
a = 3, \quad b = -6
\]
حساب می‌کنیم:
\[
x_{min} = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1
\]
حالا مقدار تابع را در \( x = 1 \) محاسبه می‌کنیم تا کمترین مقدار را پیدا کنیم:
\[
y(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 45
\]
\[
y(1) = 3 - 6 - 45 = -48
\]
بنابراین، کمترین مقدار سهمی برابر با \( -48 \) است.
در نتیجه:
**کمترین مقدار سهمی: -48**
