برای اثبات همنهشتی دو مثلث \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACN \)، از قضیهی همنهشتی زاویه-زاویه-زاویه (AAA) و بعضی ویژگیهای خاص مثلث متساویالساقین استفاده میکنیم:
1. **زاویههای \( \angle AMB \) و \( \angle ANC \):**
هر دو زاویه قائمه هستند (زاویههای نود درجه) چون \( AM \) و \( AN \) ارتفاعهای مثلث هستند.
2. **ساقهای مشترک:**
در مثلث متساویالساقین \( \triangle ABC \)، ساقهای \( AB \) و \( AC \) برابرند. همچنین \( AM \) و \( AN \) ارتفاعهای مثلث هستند و چون ارتفاعهای مثلث متساویالساقین از محور تقارن میگذرند، ارتفاعها برابراند.
3. **زاویههای \( \angle BAM \) و \( \angle CAN \):**
زاویههای مقابل به رأس \( A \) (یعنی \( \angle BAC \)) با تقسیم میانگین به دو زاویهی برابر تبدیل میشوند، زیرا مثلث متساویالساقین است و ارتفاعها از رأس به قاعده عمودند.
از اینجا نتیجه میشود که دو مثلث \( \triangle ABM \) و \( \triangle ACN \) از نظر زاویه-زاویه-زاویه (زاویههای متناظر برابرند) همنهشتند.
