برای حل این سوال، ما نیاز داریم که معادله خط مماس بر سهمی \( y = ax^2 + bx + 5 \) را بیابیم. این خط باید از نقطه \( (4, -1) \) عبور کند.
ابتدا معادله مماس را بررسی میکنیم. شیب خط مماس در هر نقطه از تابع \( y \) برابر با مقدار مشتق تابع در آن نقطه است.
1. **مشتق تابع را محاسبه کنید:**
\[
y' = 2ax + b
\]
2. **شیب خط مماس باید در نقطه تماس قرار داده شود:**
مقدار شیب برابر است با مقدار \( y' \) در نقطه تماس. این نقطه را \( (x_0, y_0) \) فرض میکنیم. بنابراین:
\[
\text{شیب} = 2ax_0 + b
\]
3. **نقطه تماس باید بر روی تابع برود:**
\[
y_0 = ax_0^2 + bx_0 + 5
\]
4. **معادله خط مماس:**
معادله خط مماس در نقطه \( (x_0, y_0) \) به شکل زیر است:
\[
y - y_0 = (2ax_0 + b)(x - x_0)
\]
5. **شرایط مسئله:**
خط مماس از نقطه \( (4, -1) \) عبور میکند. بنابراین:
\[
-1 - y_0 = (2ax_0 + b)(4 - x_0)
\]
6. **با توجه به معادله و شرایط، دو معادله داریم که باید \( a \) و \( b \) را با استفاده از آن حل کنیم:**
- ابتدائاً باید \( x_0 \) و \( y_0 \) را به گونهای پیدا کنیم که شرط \( (4, -1) \) را ارضا کند.
- سپس مقدار \( a \) و \( b \) از این دو معادله قابل استخراج خواهند بود.
این سیستم دو معادله خطی را حل کنید تا مقدار \( a \) و \( b \) را پیدا کنید. اگر مسئله اطلاعات بیشتری در مورد منحنی میداد (بهطور اختصاصی نقطه تماس)، میتوانستیم مستقیماً اعداد دقیق را حل کنیم.
با اطلاعات فعلی، یک روش تحلیلی یا عددی برای تعیین \( a \) و \( b \) نیاز است.
