برای حل این حدود، ابتدا می‌توانید هر دو صورت و مخرج عبارت را بر \( \sqrt{x^2} \) تقسیم کنید تا عبارت‌ها ساده‌تر شوند: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{|x-1|}{\sqrt{x^2}} + \frac{\sqrt{9x^2 + x}}{\sqrt{x^2}}}{\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^2}} + \frac{x}{\sqrt{x^2}} + \frac{|x-1|}{\sqrt{x^2}}} $$ با توجه به این که \( x \to +\infty \)، داریم: \[ \frac{|x-1|}{\sqrt{x^2}} = \frac{x-1}{x} \approx 1 - \frac{1}{x} \] و \[ \frac{\sqrt{9x^2 + x}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{9 + \frac{1}{x}} \approx 3 \] در مخرج: \[ \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{x} = x^{1/2} \] و \[ \frac{x}{\sqrt{x^2}} = 1 \] تزید عبارت اصلی: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 3}{x^{1/2} + 1 + 1} $$ ساده کردن عبارت: $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^{1/2} + 2} $$ با بزرگ شدن \(x\)، \(x^{1/2} \to \infty\)، بنابراین جمله‌ \( \frac{4}{x^{1/2} + 2} \) به 0 میل می‌کند. پاسخ نهایی: 0