برای حل این حدود، ابتدا میتوانید هر دو صورت و مخرج عبارت را بر \( \sqrt{x^2} \) تقسیم کنید تا عبارتها سادهتر شوند:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{|x-1|}{\sqrt{x^2}} + \frac{\sqrt{9x^2 + x}}{\sqrt{x^2}}}{\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^2}} + \frac{x}{\sqrt{x^2}} + \frac{|x-1|}{\sqrt{x^2}}} $$
با توجه به این که \( x \to +\infty \)، داریم:
\[
\frac{|x-1|}{\sqrt{x^2}} = \frac{x-1}{x} \approx 1 - \frac{1}{x}
\]
و
\[
\frac{\sqrt{9x^2 + x}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{9 + \frac{1}{x}} \approx 3
\]
در مخرج:
\[
\frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^2}} = \sqrt{x} = x^{1/2}
\]
و
\[
\frac{x}{\sqrt{x^2}} = 1
\]
تزید عبارت اصلی:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + 3}{x^{1/2} + 1 + 1} $$
ساده کردن عبارت:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x^{1/2} + 2} $$
با بزرگ شدن \(x\)، \(x^{1/2} \to \infty\)، بنابراین جمله \( \frac{4}{x^{1/2} + 2} \) به 0 میل میکند.
پاسخ نهایی:
0
