برای حل این سوال، از فرمول انرژی جنبشی استفاده میکنیم که به صورت زیر است:
\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]
که در آن:
- \( KE \) نمایانگر انرژی جنبشی است،
- \( m \) نشاندهنده جرم و
- \( v \) نمایانگر سرعت (تندی) است.
در سوال ما، ابتدا انرژی جنبشی دوچرخهسوار ۱۰ ژول است. همچنین او تندی خود را به مقدار ۵۰ متر بر ثانیه افزایش میدهد و در نهایت انرژی جنبشی او به ۹۰ ژول میرسد. بنابراین ابتدا دو حالت انرژی جنبشی را داریم:
1. **انرژی جنبشی اولیه:**
\[
KE_1 = 10 \text{ J}
\]
2. **انرژی جنبشی نهایی:**
\[
KE_2 = 90 \text{ J}
\]
با توجه به اینکه افزایش تندی 50 متر بر ثانیه است، اگر تندی اولیه را با \( v_0 \) نمایش دهیم، تندی نهایی \( v_f \) به صورت زیر خواهد بود:
\[
v_f = v_0 + 50
\]
حال میتوانیم از فرمول انرژی جنبشی برای حالتهای اولیه و نهایی استفاده کنیم و معادلاتی تنظیم کنیم.
ابتدا برای \( KE_1 \) داریم:
\[
10 = \frac{1}{2} m v_0^2 \quad \text{(معادله 1)}
\]
و برای \( KE_2 \) داریم:
\[
90 = \frac{1}{2} m (v_0 + 50)^2 \quad \text{(معادله 2)}
\]
حالا معادله 1 را برای \( m \) حل میکنیم:
\[
m = \frac{20}{v_0^2} \quad \text{(جایگزین کردن در معادله 1)}
\]
سپس این مقدار \( m \) را در معادله 2 جایگزین میکنیم:
\[
90 = \frac{1}{2} \left(\frac{20}{v_0^2}\right)(v_0 + 50)^2
\]
به عبارت دیگر:
\[
90 = \frac{10 (v_0 + 50)^2}{v_0^2}
\]
حالا تمام طرفین را در \( v_0^2 \) ضرب میکنیم:
\[
90 v_0^2 = 10 (v_0 + 50)^2
\]
حالا \( (v_0 + 50)^2 \) را باز میکنیم:
\[
90 v_0^2 = 10 (v_0^2 + 100v_0 + 2500)
\]
که پس از گسترش:
\[
90 v_0^2 = 10 v_0^2 + 1000 v_0 + 25000
\]
رشتهی معادله را مرتب میکنیم:
\[
90 v_0^2 - 10 v_0^2 - 1000 v_0 - 25000 = 0
\]
به همین ترتیب:
\[
80 v_0^2 - 1000 v_0 - 25000 = 0
\]
این معادله یک معادله درجه دوم از نوع \( ax^2 + bx + c = 0 \) است. با استفاده از فرمول معادله درجه دوم:
\[
v_0 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در اینجا:
- \( a = 80 \)
- \( b = -1000 \)
- \( c = -25000 \)
جایگزین میکنیم:
\[
v_0 = \frac{1000 \pm \sqrt{(-1000)^2 - 4 \cdot 80 \cdot (-25000)}}{2 \cdot 80}
\]
محاسبه میکنیم:
\[
v_0 = \frac{1000 \pm \sqrt{1000000 + 8000000}}{160}
\]
\[
v_0 = \frac{1000 \pm \sqrt{9000000}}{160}
\]
\[
\sqrt{9000000} = 3000
\]
حال:
\[
v_0 = \frac{1000 \pm 3000}{160}
\]
این دو حالت را بررسی میکنیم:
1. \( v_0 = \frac{4000}{160} = 25 \) متر بر ثانیه
2. \( v_0 = \frac{-2000}{160} \) که نمیتواند باشد، چون تندی نمیتواند منفی باشد.
پس تندی اولیه دوچرخه سوار:
\[
\text{تندی اولیه } v_0 = 25 \text{ متر بر ثانیه}
\]
پاسخ نهایی: تندی اولیه دوچرخهسوار 25 متر بر ثانیه است.
