در یک دنباله هندسی (GP)، هر جمله از دنباله به صورت زیر تعریف میشود:
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]
که در آن \( a \) جمله اول و \( r \) نسبت هندسی است.
برای محاسبه مجموع \( n \) جمله اول دنباله هندسی از فرمول زیر استفاده میکنیم:
\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)
\]
طبق سوال ما داریم:
\[ S_{10} = 244 \cdot S_5 \]
حالا مقادیر \( S_{10} \) و \( S_{5} \) را با استفاده از فرمول مجموع جملات دنباله هندسی محاسبه میکنیم:
\[
S_{10} = a \frac{1 - r^{10}}{1 - r}
\]
\[
S_{5} = a \frac{1 - r^{5}}{1 - r}
\]
حالا جایگذاری این دو رابطه در معادله اصلی:
\[
a \frac{1 - r^{10}}{1 - r} = 244 \cdot \left( a \frac{1 - r^{5}}{1 - r} \right)
\]
میتوانیم \( a \) و \( \frac{1}{1 - r} \) را حذف کنیم (به شرطی که \( a \neq 0 \) و \( r \neq 1 \)):
\[
1 - r^{10} = 244 \cdot (1 - r^{5})
\]
حالا طرفین را سادهسازی میکنیم:
\[
1 - r^{10} = 244 - 244 r^{5}
\]
بنابراین داریم:
\[
r^{10} - 244 r^{5} + 243 = 0
\]
برای حل این معادله، میتوانیم از substitution استفاده کنیم. به این صورت که \( x = r^{5} \)، پس داریم:
\[
x^2 - 244x + 243 = 0
\]
حالا از فرمول کلی حل معادله درجه دوم استفاده میکنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
که در اینجا \( a = 1, b = -244, c = 243 \):
\[
x = \frac{244 \pm \sqrt{244^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243}}{2 \cdot 1}
\]
محاسبه دقت این عبارت:
\[
x = \frac{244 \pm \sqrt{59536 - 972}}{2}
\]
\[
x = \frac{244 \pm \sqrt{58564}}{2}
\]
\[
\sqrt{58564} \approx 242
\]
پس داریم:
\[
x_1 = \frac{244 + 242}{2} = 243
\]
\[
x_2 = \frac{244 - 242}{2} = 1
\]
پس \( x = 243 \) یا \( x = 1 \). از آنجا که \( x = r^5 \):
1. اگر \( x = 243 \): \( r^5 = 243 \Rightarrow r = 3 \)
2. اگر \( x = 1 \): \( r^5 = 1 \Rightarrow r = 1 \) (مورد دنباله متمایز نیست)
بنابراین نسبت هندسی \( r = 3 \) است.
اکنون برای پیدا کردن چند برابر بودن جمله پنجم نسبت به جمله اول:
\[
a_5 = a \cdot r^{4} = a \cdot 3^{4} = a \cdot 81
\]
\[
a_1 = a
\]
بنابراین:
\[
\frac{a_5}{a_1} = \frac{a \cdot 81}{a} = 81
\]
پس جمله پنجم، 81 برابر جمله اول است.
پاسخ نهایی:
**جمله پنجم 81 برابر جمله اول است.**
