برای حل این سوال، فرض کنیم قسمت اول و دوم سوال را بررسی کنیم:
1. \( [x-1] = 2 \)
این به این معناست که \( 2 \leq x-1 < 3 \)، بنابراین:
\[ 3 \leq x < 4 \]
2. \([2x + 3] = -1 \)
این به این معناست که:
\[ -1 \leq 2x + 3 < 0 \]
با حل این نابرابری:
\[ -4 \leq 2x < -3 \]
\[ -2 \leq x < -\frac{3}{2} \]
برای تکمیل جدول، نیاز داریم مقدار \([x]\)، \([-x]\)، و \([x] + [-x]\) را برای هر مقدار \( x \) مشخص کنیم:
- برای \( x = 1 \):
- \([x] = 1\)
- \([-x] = -1\)
- \([x] + [-x] = 0\)
- برای \( x = -2 \):
- \([x] = -2\)
- \([-x] = 2\)
- \([x] + [-x] = 0\)
- برای \( x = \frac{3}{2} \):
- \([x] = 1\)
- \([-x] = -2\)
- \([x] + [-x] = -1\)
- برای \( x = \frac{1}{2} \):
- \([x] = 0\)
- \([-x] = -1\)
- \([x] + [-x] = -1\)
- برای \( x = \sqrt{2} \approx 1.414\):
- \([x] = 1\)
- \([-x] = -2\)
- \([x] + [-x] = -1\)
- برای \( x = 0 \):
- \([x] = 0\)
- \([-x] = 0\)
- \([x] + [-x] = 0\)
بنابراین، قانون \([x] + [-x]\) برابر با صفر هنگامی که \( x \) عدد صحیح است و برابر با منفی یک وقتی \( x \) عدد صحیح نیست.
