پاسخ به سوالات به صورت زیر است:
الف) تابع \( f(x) = 2x - 1 \) با دامنه \([-1, 2]\):
ابتدا باید برد تابع را پیدا کنیم.
- در \( x = -1 \)،
\[
f(-1) = 2(-1) - 1 = -3
\]
- در \( x = 2 \)،
\[
f(2) = 2(2) - 1 = 3
\]
برد تابع از مقدار کمینه تا بیشینه، یعنی \([-3, 3]\) است.
ب) تابع \( f(x) = x^3 - 3 \) و مقدار \( f(2) \):
\[
f(2) = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5
\]
مقدار آن برابر 5 است.
ج) تابع خطی با دامنه \([1, 2]\) و برد \([-4, 3]\):
تابع خطی به صورت عمومی \( f(x) = ax + b \) است. باید ضرایب \( a \) و \( b \) را پیدا کنیم تا شرایط داده شده را برآورده کند.
از دو نقطه میتوان \( a \) و \( b \) را بهدست آورد:
برای \( x = 1 \)، \( f(1) = -4 \):
\[
a(1) + b = -4
\]
برای \( x = 2 \)، \( f(2) = 3 \):
\[
a(2) + b = 3
\]
با حل دستگاه معادلات:
\[
\begin{cases}
a + b = -4 \2a + b = 3
\end{cases}
\]
از معادله اول \( b = -4 - a \) و جایگذاری در دومین معادله:
\[
2a + (-4 - a) = 3 \implies a - 4 = 3 \implies a = 7
\]
با جایگذاری \( a = 7 \) در \( b = -4 - a \):
\[
b = -4 - 7 = -11
\]
بنابراین تابع خطی:
\[
f(x) = 7x - 11
\]
چ) تابعی که هم دامنه و هم برد آن یک مقدار ثابت باشد، مانند \( f(x) = c \)، که \( c \) ثابت است، دامنه هر مقداری را شامل میشود و برد تنها مقدار \( c \) را شامل میشود. برای مثال، تابع \( f(x) = 0 \) همواره مقدار صفر را برمیگرداند.
مشابه مثال:
\( f(x) = 1 \) برای هر \( x \).
