پاسخ به سوالات به صورت زیر است: الف) تابع \( f(x) = 2x - 1 \) با دامنه \([-1, 2]\): ابتدا باید برد تابع را پیدا کنیم. - در \( x = -1 \)، \[ f(-1) = 2(-1) - 1 = -3 \] - در \( x = 2 \)، \[ f(2) = 2(2) - 1 = 3 \] برد تابع از مقدار کمینه تا بیشینه، یعنی \([-3, 3]\) است. ب) تابع \( f(x) = x^3 - 3 \) و مقدار \( f(2) \): \[ f(2) = 2^3 - 3 = 8 - 3 = 5 \] مقدار آن برابر 5 است. ج) تابع خطی با دامنه \([1, 2]\) و برد \([-4, 3]\): تابع خطی به صورت عمومی \( f(x) = ax + b \) است. باید ضرایب \( a \) و \( b \) را پیدا کنیم تا شرایط داده شده را برآورده کند. از دو نقطه می‌توان \( a \) و \( b \) را به‌دست آورد: برای \( x = 1 \)، \( f(1) = -4 \): \[ a(1) + b = -4 \] برای \( x = 2 \)، \( f(2) = 3 \): \[ a(2) + b = 3 \] با حل دستگاه معادلات: \[ \begin{cases} a + b = -4 \2a + b = 3 \end{cases} \] از معادله اول \( b = -4 - a \) و جایگذاری در دومین معادله: \[ 2a + (-4 - a) = 3 \implies a - 4 = 3 \implies a = 7 \] با جایگذاری \( a = 7 \) در \( b = -4 - a \): \[ b = -4 - 7 = -11 \] بنابراین تابع خطی: \[ f(x) = 7x - 11 \] چ) تابعی که هم دامنه و هم برد آن یک مقدار ثابت باشد، مانند \( f(x) = c \)، که \( c \) ثابت است، دامنه هر مقداری را شامل می‌شود و برد تنها مقدار \( c \) را شامل می‌شود. برای مثال، تابع \( f(x) = 0 \) همواره مقدار صفر را برمی‌گرداند. مشابه مثال: \( f(x) = 1 \) برای هر \( x \).