برای حل این سوال، باید از خاصیتهای توابع مثلثاتی استفاده کنیم. تابع تانژانت (tan) ویژگیهای خاصی دارد که مرتبط با زاویههای مکمل و زوایای تبدیل است.
ابتدا میدانیم:
\[
\tan(θ) = \frac{\sin(θ)}{\cos(θ)}
\]
و همچنین یکی از ویژگیهای مهم توابع مثلثاتی این است که:
\[
\tan(180° - θ) = -\tan(θ)
\]
ما اینجا داریم \( \tan(100°) \) و \( \tan(-50°) \). ابتدا \( \tan(-50°) \) را بررسی میکنیم:
\[
\tan(-50°) = -\tan(50°)
\]
حالا بیایید رابطه \( \tan(100°) \) را بررسی کنیم. از آنجا که \( 100° = 180° - 80° \)، میتوانیم بنویسیم:
\[
\tan(100°) = -\tan(80°)
\]
حالا توجه کنید که:
\[
\tan(80°) = \tan(90° - 10°) = \cot(10°) \quad (از ویژگی مکمل)
\]
اما ما به رابطه بین \( \tan(100°) \) و \( \tan(-50°) \) نیاز داریم.
بنابراین با توجه به اینکه \( 50° + 50° = 100° \):
\[
\tan(100°) = \tan(50° + 50°) = \frac{\tan(50°) + \tan(50°)}{1 - \tan(50°)\tan(50°)} \quad (\text{از فرمول جمع زاویهها برای تانژانت})
\]
بنابراین میتوانیم ببینیم:
\[
\tan(100°) = -\tan(50°) = \tan(-50°)
\]
پس نتیجه میگیریم که:
\[
\tan(100°) = \tan(-50°)
\]
و از اینجا میتوان نتیجه گرفت که:
\[
\tan(100°) \text{ با } \tan(-50°) \text{ برابر است.}
\]
در نتیجه، چرا \( \tan(100°) = \tan(-50°) \) است.
