برای حل این سوال، فرض می‌کنیم طول مستطیل \( l \) و عرض آن \( w \) باشد. دو معادله‌ای که می‌توانیم از شرایط مسئله بنویسیم به صورت زیر است:
1. مساحت مستطیل:
\[
l \times w = 10
\]
2. محیط مستطیل:
\[
2l + 2w = 13
\]
حال معادله دوم را ساده می‌کنیم:
\[
l + w = 6.5
\]
با روش جایگزینی یا حذف معادلات، می‌توانیم طول و عرض را پیدا کنیم. مثلاً از معادله محیط، \( l \) را بر حسب \( w \) به دست می‌آوریم:
\[
l = 6.5 - w
\]
این مقدار را در معادله مساحت جایگزین می‌کنیم:
\[
(6.5 - w) \times w = 10
\]
این معادله را باز کرده و مرتب می‌کنیم:
\[
6.5w - w^2 = 10
\]
حال همه چیز را به یک طرف معادله می‌بریم تا معادله درجه دو تشکیل شود:
\[
w^2 - 6.5w + 10 = 0
\]
با استفاده از فرمول کلی معادله درجه دو:
\[
w = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در این جا \(a = 1\)، \(b = -6.5\)، و \(c = 10\). با قرار دادن در فرمول:
\[
w = \frac{-(-6.5) \pm \sqrt{(-6.5)^2 - 4 \times 1 \times 10}}{2 \times 1}
\]
\[
w = \frac{6.5 \pm \sqrt{42.25 - 40}}{2}
\]
\[
w = \frac{6.5 \pm \sqrt{2.25}}{2}
\]
\[
w = \frac{6.5 \pm 1.5}{2}
\]
دو جواب ممکن برای \(w\) خواهیم داشت:
1. \(w = \frac{6.5 + 1.5}{2} = 4\)
2. \(w = \frac{6.5 - 1.5}{2} = 2.5\)
حال برای هر \(w\) مقدار \(l\) را محاسبه می‌کنیم:
اگر \(w = 4\)، \( l = 2.5\) و اگر \(w = 2.5\)، \( l = 4\).
بنابراین دو مجموعه جواب داریم:
- \( (l, w) = (4, 2.5) \)
- \( (l, w) = (2.5, 4) \)
در نتیجه، طول و عرض مستطیل می‌توانند ۴ و ۲.۵ باشند یا برعکس.
