برای حل سوال، ابتدا معادله درجه دوم مورد نظر را بررسی میکنیم:
\[ x^2 - 4x + 1 = 0 \]
از فرمول ریشههای معادله درجه دوم استفاده میکنیم:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
که در اینجا \( a = 1 \)، \( b = -4 \)، و \( c = 1 \) است. بنابراین:
1. ابتدا دلتای معادله را محاسبه میکنیم:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 16 - 4 = 12 \]
2. حالا ریشههای معادله را محاسبه میکنیم:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} \]
که میتوانیم \(\sqrt{12}\) را به \(\sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\) تبدیل کنیم.
بنابراین ریشهها به صورت زیر هستند:
\[ x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \]
\[ x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]
حالا میخواهیم مقدار زیر را محاسبه کنیم:
\[ \frac{\alpha + 1}{\alpha} + \frac{\beta + 1}{\beta} \]
که در اینجا \(\alpha\) و \(\beta\) به ترتیب مساوی \(x_1\) و \(x_2\) هستند.
3. برای محاسبه، از خصوصیات کسرها استفاده میکنیم:
\[
\frac{\alpha + 1}{\alpha} = 1 + \frac{1}{\alpha}
\]
\[
\frac{\beta + 1}{\beta} = 1 + \frac{1}{\beta}
\]
بنابراین:
\[
\frac{\alpha + 1}{\alpha} + \frac{\beta + 1}{\beta} = \left(1 + \frac{1}{\alpha}\right) + \left(1 + \frac{1}{\beta}\right) = 2 + \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right)
\]
4. برای محاسبه \(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\) از فرمول زیر استفاده میکنیم:
\[
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}
\]
با استفاده از رابطهی ویتا و ودیسن معادله:
- \(\alpha + \beta = 4\)
- \(\alpha \beta = 1\)
بنابراین:
\[
\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{4}{1} = 4
\]
5. حالا مجموع را محاسبه میکنیم:
\[
2 + \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}\right) = 2 + 4 = 6
\]
پس جواب نهایی ما:
\[
\boxed{6}
\]
