برای یافتن طول این دو نقطه از یکدیگر، ابتدا معادلههای داده شده را تحلیل میکنیم. دو معادله دارید:
1. \( y = x - 1 \)
2. فاصله از خط \( 2x - 3y = 5 \) برابر \(\sqrt{13}\) است.
برای یافتن نقاط، از رابطه فاصله یک نقطه از یک خط استفاده میکنیم. فرمول فاصله یک نقطه \((x_1, y_1)\) از یک خط \(Ax + By + C = 0\) به این صورت است:
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
در اینجا:
\( A = 2 \), \( B = -3 \), \( C = -5 \)
بنابراین فاصله برابر است با:
\[
\sqrt{13} = \frac{|2x - 3y - 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|2x - 3y - 5|}{\sqrt{13}}
\]
با سادهسازی داریم:
\[
|2x - 3y - 5| = 13
\]
بنابراین دو حالت داریم:
1. \( 2x - 3y - 5 = 13 \)
2. \( 2x - 3y - 5 = -13 \)
حالت اول:
\[
2x - 3y = 18
\]
حل با \( y = x - 1 \):
\[
2x - 3(x - 1) = 18 \2x - 3x + 3 = 18 \-x + 3 = 18 \x = -15 \y = -16
\]
نقطه اول: \((-15, -16)\)
حالت دوم:
\[
2x - 3y = -8
\]
حل با \( y = x - 1 \):
\[
2x - 3(x - 1) = -8 \2x - 3x + 3 = -8 \-x + 3 = -8 \x = 11 \y = 10
\]
نقطه دوم: \((11, 10)\)
طول بین این دو نقطه از فرمول فاصله دو نقطه استفاده میکنیم:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
\[
d = \sqrt{(11 + 15)^2 + (10 + 16)^2} \d = \sqrt{26^2 + 26^2} \d = \sqrt{2 \times 26^2} \d = 26\sqrt{2}
\]
پاسخ نهایی: \( 26\sqrt{2} \)
