برای حل قسمت الف، نیاز داریم معادلهی درجه دوم را بنویسیم که ریشههای آن عبارتهای \(\frac{6 + \sqrt{3}}{5}\) و \(\frac{2 - \sqrt{3}}{5}\) باشند.
فرض کنید معادله درجه دو به شکل \(ax^2 + bx + c = 0\) باشد. برای یافتن معادله، از دو ریشهی دادهشده استفاده میکنیم:
ریشههای \(\alpha\) و \(\beta\) این معادله بهطور کلی در قالب رابطههای زیر بیان میشوند:
- \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
- \(\alpha \cdot \beta = \frac{c}{a}\)
حال، محاسبه میکنیم:
\[
\alpha + \beta = \frac{6 + \sqrt{3}}{5} + \frac{2 - \sqrt{3}}{5} = \frac{6 + 2}{5} = \frac{8}{5}
\]
\[
\alpha \cdot \beta = \left(\frac{6 + \sqrt{3}}{5}\right) \cdot \left(\frac{2 - \sqrt{3}}{5}\right) = \frac{(6 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}{25}
\]
محاسبهی مخرج مشترک حاصل:
\[
(6 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 12 - 6\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3 = 9 - 4\sqrt{3}
\]
پس:
\[
\alpha \cdot \beta = \frac{9 - 4\sqrt{3}}{25}
\]
یعنی اگر \(a = 1\)، معادله ما شکل کلی زیر را دارد:
\[
x^2 - \left(\frac{8}{5}\right)x + \frac{9 - 4\sqrt{3}}{25} = 0
\]
برای سادهکردن:
ضرب طرفین در 25:
\[
25x^2 - 40x + (9 - 4\sqrt{3}) = 0
\]
جایی که \((x = \frac{6 + \sqrt{3}}{5}, x = \frac{2 - \sqrt{3}}{5})\) منطقی است و به نظر میرسد که جواب سؤال کامل شده است.
نتیجه نهایی:
\[
x^2 - \frac{8}{5}x + \frac{9 - 4\sqrt{3}}{25} = 0
\]
لطفاً اطمینان حاصل کنید که از درج و تفسیر درست مقدارها برای حل استفاده شده است.
