برای حل این مسئله، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم: الف) اثبات تشابه مثلث‌ها \( \triangle ABC \) و \( \triangle BDE \): برای اثبات تشابه دو مثلث، باید نشان دهیم که زاویه‌ها و نسبت اضلاع آنها برابر است. از متن سوال داریم که \( \hat{A} = \hat{E} \). همچنین، \( DE \parallel AC \) که به معنای برابر بودن دیگر دو زاویه، یعنی \( \hat{BDE} = \hat{BAC} \) و \( \hat{BED} = \hat{BCA} \) است. بنابراین، مثلث \( \triangle ABC \) و \( \triangle BDE \) بر اساس زاویه-زاویه-زاویه (AAA) مشابه هستند. ب) محاسبه نسبت اضلاع و مقدار \( x \): از تشابه مثلث‌ها، می‌توان تناسب زیر را نوشت: \[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \] با استفاده از مقادیر داده شده: \[ \frac{2}{4} = \frac{3}{5} \] حالا برای پیدا کردن \( x \)، از تناسب دیگری استفاده می‌کنیم: \[ \frac{BE}{BD} = \frac{BC}{AB} \] که: \[ \frac{3}{x} = \frac{5}{4} \] با ضرب طرفین در وسطین: \[ 3 \times 4 = 5 \times x \12 = 5x \x = \frac{12}{5} = 2.4 \] پس مقدار \( x \) برابر ۲.۴ است.