نامعادله داده شده به صورت زیر است: \[ \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 9} \leq 0 \] برای حل این نامعادله، مراحل زیر را دنبال کنید: ### 1. تجزیه‌ی عبارات: صورت: \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \) مخرج: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \) ### 2. تعیین نقاط بحرانی: عبارت در کسر در صفر مخرج و صورت صفر می‌شود: - \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) - \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) - \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \) - \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \) ### 3. تعیین بازه‌ها و تعیین علامت: نقاط بحرانی عبارتند از: \( x = -3, 1, 2, 3 \) حالا بازه‌ها را در نظر می‌گیریم: \( (-\infty, -3), (-3, 1), (1, 2), (2, 3), (3, \infty) \) در هر بازه علامت عبارت را تعیین می‌کنیم: - برای \( x \in (-\infty, -3) \)، علامت منفی است. - برای \( x \in (-3, 1) \)، علامت مثبت است. - برای \( x \in (1, 2) \)، علامت منفی است. - برای \( x \in (2, 3) \)، علامت مثبت است. - برای \( x \in (3, \infty) \)، علامت منفی است. ### 4. تعیین بازه‌های صحیح: نامعادله‌ی ما به صورت \(\leq 0\) است. پس باید بازه‌های منفی یا صفر را انتخاب کنیم: - اولین بازه‌ی منفی: \( (-\infty, -3) \) - نقطه‌ی صفر در صورت: \( x = 1 \) (صفر است، وارد بازه می‌شود) - دومین بازه‌ی منفی: \( (1, 2) \) - نقطه‌ی صفر در صورت: \( x = 2 \) (صفر است، وارد بازه می‌شود) - سومین بازه‌ی منفی: \( (3, \infty) \) در نتیجه، جواب نامعادله: \[ (-\infty, -3) \cup [1, 2] \cup (3, \infty) \]