نامعادله داده شده به صورت زیر است:
\[
\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 9} \leq 0
\]
برای حل این نامعادله، مراحل زیر را دنبال کنید:
### 1. تجزیهی عبارات:
صورت: \( x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) \)
مخرج: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \)
### 2. تعیین نقاط بحرانی:
عبارت در کسر در صفر مخرج و صورت صفر میشود:
- \( x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
- \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
- \( x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)
- \( x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \)
### 3. تعیین بازهها و تعیین علامت:
نقاط بحرانی عبارتند از: \( x = -3, 1, 2, 3 \)
حالا بازهها را در نظر میگیریم:
\( (-\infty, -3), (-3, 1), (1, 2), (2, 3), (3, \infty) \)
در هر بازه علامت عبارت را تعیین میکنیم:
- برای \( x \in (-\infty, -3) \)، علامت منفی است.
- برای \( x \in (-3, 1) \)، علامت مثبت است.
- برای \( x \in (1, 2) \)، علامت منفی است.
- برای \( x \in (2, 3) \)، علامت مثبت است.
- برای \( x \in (3, \infty) \)، علامت منفی است.
### 4. تعیین بازههای صحیح:
نامعادلهی ما به صورت \(\leq 0\) است. پس باید بازههای منفی یا صفر را انتخاب کنیم:
- اولین بازهی منفی: \( (-\infty, -3) \)
- نقطهی صفر در صورت: \( x = 1 \) (صفر است، وارد بازه میشود)
- دومین بازهی منفی: \( (1, 2) \)
- نقطهی صفر در صورت: \( x = 2 \) (صفر است، وارد بازه میشود)
- سومین بازهی منفی: \( (3, \infty) \)
در نتیجه، جواب نامعادله:
\[
(-\infty, -3) \cup [1, 2] \cup (3, \infty)
\]
