برای حل این سوال، ابتدا به یادآوری برخی از مفاهیم پایه دنباله‌های حسابی می‌پردازیم. در یک دنباله حسابی، هر جمله \(a_n\) با استفاده از جمله اول \(a_1\) و تفاوت حسابی \(d\) به صورت زیر تعریف می‌شود:
\[
a_n = a_1 + (n-1)d
\]
### مراحل حل:
1. **محاسبه مجموع جمله‌های اول دنباله**:
مجموع \(n\) جمله اول یک دنباله حسابی به فرم زیر است:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]
که در اینجا \(a_n = a_1 + (n-1)d\) می‌باشد.
2. **مجموع ۲۰ جمله اول**:
\[
S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (a_1 + a_{20}) = 10 \cdot (a_1 + a_1 + 19d) = 10 \cdot (2a_1 + 19d) = 20a_1 + 190d
\]
3. **مجموع ۱۲ جمله اول**:
\[
S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (a_1 + a_{12}) = 6 \cdot (a_1 + a_1 + 11d) = 6 \cdot (2a_1 + 11d) = 12a_1 + 66d
\]
4. **بر اساس اطلاعات موجود**:
طبق سوال، می‌دانیم که \(S_{20} = 3S_{12}\)، بنابراین:
\[
20a_1 + 190d = 3(12a_1 + 66d)
\]
این را ساده‌سازی می‌کنیم:
\[
20a_1 + 190d = 36a_1 + 198d
\]
سپس، به ترمت‌ها رسیدگی می‌کنیم:
\[
20a_1 - 36a_1 + 190d - 198d = 0
\]
یا به صورت ساده‌تر:
\[
-16a_1 - 8d = 0
\]
که نتیجه می‌دهد:
\[
2a_1 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -2a_1
\]
5. **جمله سوم**:
طبق داده‌های سوال، جمله سوم \(a_3 = 6\):
\[
a_3 = a_1 + 2d = a_1 + 2(-2a_1) = a_1 - 4a_1 = -3a_1
\]
بنابراین داریم:
\[
-3a_1 = 6 \quad \Rightarrow \quad a_1 = -2
\]
6. **محاسبه \(d\)**:
حالا با استفاده از مقدار \(a_1\):
\[
d = -2a_1 = -2(-2) = 4
\]
7. **محاسبه جمله دهم**:
حالا به محاسبه جمله دهم می‌پردازیم:
\[
a_{10} = a_1 + 9d = -2 + 9 \cdot 4 = -2 + 36 = 34
\]
### پاسخ نهایی:
پس جمله دهم دنباله برابر با \(34\) است.
