در یک دنباله حسابی مجموع ۲۰ جمله اول سه برابر مجموع ۱۲ جمله اول ان است اگر جمله سوم ۶ باشد جمله دهم چند است

برای حل این سوال، ابتدا به یادآوری برخی از مفاهیم پایه دنباله‌های حسابی می‌پردازیم. در یک دنباله حسابی، هر جمله \(a_n\) با استفاده از جمله اول \(a_1\) و تفاوت حسابی \(d\) به صورت زیر تعریف می‌شود: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] ### مراحل حل: 1. **محاسبه مجموع جمله‌های اول دنباله**: مجموع \(n\) جمله اول یک دنباله حسابی به فرم زیر است: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] که در اینجا \(a_n = a_1 + (n-1)d\) می‌باشد. 2. **مجموع ۲۰ جمله اول**: \[ S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (a_1 + a_{20}) = 10 \cdot (a_1 + a_1 + 19d) = 10 \cdot (2a_1 + 19d) = 20a_1 + 190d \] 3. **مجموع ۱۲ جمله اول**: \[ S_{12} = \frac{12}{2} \cdot (a_1 + a_{12}) = 6 \cdot (a_1 + a_1 + 11d) = 6 \cdot (2a_1 + 11d) = 12a_1 + 66d \] 4. **بر اساس اطلاعات موجود**: طبق سوال، می‌دانیم که \(S_{20} = 3S_{12}\)، بنابراین: \[ 20a_1 + 190d = 3(12a_1 + 66d) \] این را ساده‌سازی می‌کنیم: \[ 20a_1 + 190d = 36a_1 + 198d \] سپس، به ترمت‌ها رسیدگی می‌کنیم: \[ 20a_1 - 36a_1 + 190d - 198d = 0 \] یا به صورت ساده‌تر: \[ -16a_1 - 8d = 0 \] که نتیجه می‌دهد: \[ 2a_1 + d = 0 \quad \Rightarrow \quad d = -2a_1 \] 5. **جمله سوم**: طبق داده‌های سوال، جمله سوم \(a_3 = 6\): \[ a_3 = a_1 + 2d = a_1 + 2(-2a_1) = a_1 - 4a_1 = -3a_1 \] بنابراین داریم: \[ -3a_1 = 6 \quad \Rightarrow \quad a_1 = -2 \] 6. **محاسبه \(d\)**: حالا با استفاده از مقدار \(a_1\): \[ d = -2a_1 = -2(-2) = 4 \] 7. **محاسبه جمله دهم**: حالا به محاسبه جمله دهم می‌پردازیم: \[ a_{10} = a_1 + 9d = -2 + 9 \cdot 4 = -2 + 36 = 34 \] ### پاسخ نهایی: پس جمله دهم دنباله برابر با \(34\) است.

میشه بپرسم این سوال رو از کجا اوردی چون سوال جالبی بود