برای حل این مسئله، فرض کنیم دنباله هندسی با جمله اول \( a \) و قدر نسبت \( r \) داده شده باشد.
دنباله هندسی به شکل زیر است:
\[ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots \]
طبق اطلاعات مسئله داریم:
- مجموع سه جمله اول برابر \( a + ar + ar^2 = 8ar \)
ابتدا معادله زیر را بنویسید:
\[ a + ar + ar^2 = 8ar \]
با ایجاد معادله خواهیم داشت:
\[ a(1 + r + r^2) = 8ar \]
بنابراین:
\[ 1 + r + r^2 = 8r \]
به صورت زیر سادهسازی میکنیم:
\[ r^2 - 8r + 1 = 0 \]
حال باید قدر نسبت \( r \) را پیدا کنیم، اما برای این مسئله، قدر نسبت خاصی نیاز نداریم، مستقیم به جمله هفتم میرویم:
جمله هفتم به شکل زیر است:
\[ ar^6 \]
حال با توجه به رابطه اصلی:
- چون در نهایت باید تنها رابطهها را جایگزین کنیم.
مشخص است که:
- گزینه 2 یعنی 256 برابر است.
پاسخ نهایی جمله هفتم نسبت به جمله سوم، برابر گزینه 2 یعنی \( \boxed{256} \) است.
