برای حل این مسئله، اول باید تعداد کل اعداد طبیعی سهرقمی که مضرب ۶ هستند را پیدا کنیم.
اعداد سهرقمی از ۱۰۰ تا ۹۹۹ هستند. برای اینکه یک عدد مضرب ۶ باشد باید هم مضرب ۲ و هم مضرب ۳ باشد. برای راحتی کار، ابتدا بررسی میکنیم که چه اعداد سهرقمیای مضرب ۶ هستند.
عدد طبیعی سهرقمی کوچکتر که مضرب ۶ است برابر است با:
۱۰۰ ← تنها عدد سهرقمی کوچکتر که مضرب ۶ است: ۱۰۲
عدد سهرقمی بزرگتر که مضرب ۶ است برابر است با:
۹۹۹ ← تنها عدد سهرقمی بزرگتر که مضرب ۶ است: ۹۹۶
حال با استفاده از فرمول تعداد جملات دنباله حسابی میتوان تعداد این اعداد را به دست آورد:
$n = \dfrac{L - a}{d}+1$
که:
- \( L \) جمله آخر دنباله: ۹۹۶
- \( a \) جمله اول دنباله: ۱۰۲
- \( d \) تفاوت دنباله: ۶
جایگذاری میکنیم:
\[ n = \dfrac{996 - 102}{6} + 1 = \dfrac{894}{6} + 1 = 149\, +\, 1 = 150 \]
حالا که تعداد این اعداد را داریم، مجموع این اعداد را با استفاده از فرمول مجموع جملات دنباله حسابی به دست میآوریم:
$S_n = \dfrac{n}{2} (a + L)$
جایگذاری میکنیم:
\[ S = \dfrac{150}{2} (102 + 996) = 75 \times 1098 = 82350 \]
بنابراین، مجموع همه اعداد طبیعی سهرقمی که مضرب ۶ هستند برابر است با ۸۲۳۵۰.
