برای حل این مسأله، باید نسبتهای قطعات خطها و مساحتها را بررسی کنیم. سوال میگوید که \(\frac{MA}{MB} = \frac{2}{3}\) و ما باید نسبت مساحت چهارضلعی \(MNPB\) به مساحت مثلث \(ABC\) را پیدا کنیم.
در ابتدا، با توجه به نسبت \(\frac{MA}{MB}\) و این که خط \(MN\) موازی با خط \(BC\) است، میتوانیم از قضیه تالس استفاده کنیم. بر اساس این قضیه، نسبت مساحت دو مثلثی که ضلعهای متناظرشان با یکدیگر موازی هستند و از یک رأس مشترک شروع میشوند، برابر است با مربع نسبت قطعات متناظرشان.
بنابراین، اگر فرض کنیم مساحت مثلث \(MNC\) برابر با \(x\) باشد، مساحت مثلث \(MAB\) برابر با \(\frac{2^2}{3^2}\) برابر \(x\) است، یعنی:
\[
\frac{S_{MNC}}{S_{MAB}} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}
\]
حال میدانیم که چهارضلعی \(MNPB\) و مثلث \(ABC\) به صورت زیر مرتبط هستند:
مساحت مثلث \(MNC\) را کم کنیم
