متن مربوط به سوالات ریاضی دهم است.
### پاسخ سوال اول:
برای یافتن طول \( AH \) به عنوان ارتفاع مثلث \( ABC \) و مساحت، به مثلث قائمالزاویه \( AHC \) نگاه میکنیم.
با توجه به اینکه زاویه \( \angle ACH = 45^\circ \)، میتوانیم بگوییم:
\[ AH = AC \cdot \sin(45^\circ) \]
و
\[ HC = AC \cdot \cos(45^\circ) \]
برای حساب کردن مساحت مثلث \( ABC \) داریم:
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times BC \times AH \]
چون \( BC \) پایه و \( AH \) ارتفاع است. با استفاده از مشخصات مثلث میتوانید \( AH \) و مساحت را حساب کنید.
### پاسخ سوال الف:
عبارت \(\frac{2 \cot 2^\circ}{\sin 178^\circ + \cos 2^\circ}\) را باید ساده کنیم. چون \( \sin(178^\circ) = \sin(2^\circ) \) و \(\cot(2^\circ) = \frac{\cos(2^\circ)}{\sin(2^\circ)}\)، جایگذاری و سادهسازی انجام دهید:
\[
\frac{2 \cdot \frac{\cos(2^\circ)}{\sin(2^\circ)}}{\sin(2^\circ) + \cos(2^\circ)}
= \frac{2 \cos(2^\circ)}{\sin(2^\circ)(\sin(2^\circ) + \cos(2^\circ))}
= \frac{2 \cos(2^\circ)}{\sin(2^\circ)^2 + \sin(2^\circ)\cos(2^\circ)}
\]
### پاسخ سوال ب:
زاویه \( 135^\circ \) در ربع دوم مثلثاتی قرار دارد و کسینوس آن منفی است.
### پاسخ سوال ج:
اگر \( \cos \theta = \frac{4}{5} \)، باید با توجه به دایره مثلثاتی \( \theta \) را در ربع مناسب پیدا کنیم و نسبتهای دیگر مثلثاتی را بسازید. چون \( \cos \theta \) مثبت است، زوایا در ربع اول یا چهارم قرار میگیرند.
با استفاده از \( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \):
\[
\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}
\]
بنابراین \( \sin \theta = \pm \frac{3}{5} \).
در ربع اول، مقدار \(\sin \theta\) مثبت است، بنابراین \(\sin \theta = \frac{3}{5}\) میشود.
این محاسبات را انجام دهید تا کامل شود.
