برای اینکه تابع \( f(x) = (2b - b^2 - 5) x^{?} \) یک تابع نمایی باشد، باید شرایط زیر برقرار باشد:
1. مقدار \( 2b - b^2 - 5 \) باید مثبت باشد.
2. توان \( ? \) باید یک عدد ثابت باشد (که معمولاً مثل \( k \) نوشته میشود).
فرض میکنیم مقادیر \( b \) را طوری انتخاب کنیم که \( 2b - b^2 - 5 > 0 \).
برای حل این نابرابری، ابتدا معادله \( 2b - b^2 - 5 = 0 \) را حل میکنیم. این معادله را به صورت استاندارد به شکل زیر درمیآوریم:
\[
-b^2 + 2b - 5 = 0
\]
معادله را میتوان به شکل
\[
b^2 - 2b + 5 = 0
\]
نوشت. برای حل این معادله از فرمول مخرج مشترک استفاده میکنیم:
\[
b = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}
\]
که در اینجا \( A = 1 \)، \( B = -2 \) و \( C = 5 \) است. محاسبه دلتای این معادله:
\[
\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16
\]
از آنجا که دلتا منفی است، یعنی معادله هیچ گونه ریشه واقعی ندارد و به همین دلیل میتوان گفت که عبارت \( 2b - b^2 - 5 \) همیشه منفی است.
کیفیت تابع نمایی بودن تابع به این معنی است که هیچ مقداری برای \( b \) وجود ندارد که \( 2b - b^2 - 5 > 0 \) باشد.
بنابراین، وجود هیچ مقدار واقعی برای \( b \) که این تابع نمایی باشد، وجود ندارد و در نتیجه جواب نهایی:
0
